Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 510597
i

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы ABCA1B1C1 яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC, где AB  =  AC  =  5 и BC  =  8. Вы­со­та приз­мы равна 3.

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник A1BC ост­ро­уголь­ный.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой A1B и плос­ко­стью BCC1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра A1B: A_1B в квад­ра­те =3 в квад­ра­те плюс 5 в квад­ра­те =34. От­сю­да

A_1B в квад­ра­те плюс A_1C в квад­ра­те минус BC в квад­ра­те = 34 плюс 34 минус 64 = 4 боль­ше 0,

по­это­му по тео­ре­ме ко­си­ну­сов cos \angle BA_1C боль­ше 0, то есть угол BA1C ост­рый. Два дру­гих угла тре­уголь­ни­ка A1BC ост­рые как углы при ос­но­ва­нии рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

 

б)  По­сколь­ку приз­ма ABCA1B1C1 пря­мая, то вы­со­та A1M тре­уголь­ни­ка A1B1C1 пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти BCC1. По­это­му пря­мая BM  — про­ек­ция пря­мой A1B на плос­кость BCC1. Зна­чит, ис­ко­мый угол равен углу A1BM.

B_1M=4 и BB_1=3, по­это­му BM  =  5 и

A_1M = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: A_1 конец ар­гу­мен­та B_1 в квад­ра­те минус B_1M в квад­ра­те = 3.

От­сю­да

тан­генс \angle A_1BM = дробь: чис­ли­тель: A_1M, зна­ме­на­тель: BM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Сле­до­ва­тель­но, \angle A_1BM= арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

Ответ: б) арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: Угол между пря­мой и плос­ко­стью, Пря­мая тре­уголь­ная приз­ма
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026