Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 530402
i

В ос­но­ва­нии пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA1B1C1 лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с рав­ны­ми сто­ро­на­ми AB и BC. Точки K и M  — се­ре­ди­ны рёбер A1B1 и AC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что KM  =  KB.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой KM и плос­ко­стью ABB1, если AB  =  8, AC  =  6 и AA1  =  3.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть L  — се­ре­ди­на ребра AB. Тре­уголь­ник AMB пря­мо­уголь­ный, по­это­му его ме­ди­а­на  LM равна по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы и равна  LB. Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков KLM и KLB сле­ду­ет, что KM  =  KB.

б)  Пусть MH  — вы­со­та в тре­уголь­ни­ке AMB. Пря­мая MH пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мым AB и BB1, сле­до­ва­тель­но, она пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABB1 и угол HKM  — ис­ко­мый.

Вы­чис­ляя двумя спо­со­ба­ми пло­щадь тре­уголь­ни­ка AMB, по­лу­чим MH умно­жить на AB=MA умно­жить на MB, от­ку­да

MH= дробь: чис­ли­тель: MA умно­жить на MB, зна­ме­на­тель: AB конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 8 в квад­ра­те минус 3 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 55 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

По­это­му

синус \angle HKM= дробь: чис­ли­тель: HM, зна­ме­на­тель: KM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: HM, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 в квад­ра­те плюс 4 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 55 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 40 конец дроби ,

тогда \angle HKM= арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 55 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 40 конец дроби .

 

Ответ: б) арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 55 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 40 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 530402: 530434 Все

Методы геометрии: Метод пло­ща­дей
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Тре­уголь­ная приз­ма, Угол между пря­мой и плос­ко­стью
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026