Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 630195

Точка O  — точка пересечения диагоналей грани CDD1C1 куба ABCDA1B1C1D1. Плоскость DA1C1 пересекает диагональ BD1 в точке F.

а)  Докажите, что BF:FD_1=A_1F:FO.

б)  Точки M и N  — середины ребер AB и AA1, соответственно. Найдите угол между прямой MN и плоскостью DA1C1.

Спрятать решение

Решение.

a)  Плоскость DA1C1 пересекает плоскость BCD1 по прямой A1O, значит, точка F  — это точка пересечения отрезков BD1 и A1O. Прямые BA1 и CD1 параллельны, значит, треугольники D1FO и BFA1 подобны с коэффициентом подобия

 дробь: числитель: A_1 F, знаменатель: F O конец дроби = дробь: числитель: B F, знаменатель: F D_1 конец дроби = дробь: числитель: B A_1, знаменатель: D_1 O конец дроби =2.

Получаем, что

B F: F D_1=A_1 F: F O=2: 1.

б)  Прямая CD1 является проекцией прямой BD1 на плоскость CDD1, a прямые CD1 и DC1 перпендикулярны, значит, по теореме о трёх перпендикулярах прямая BD1 перпендикулярна прямой DC1. Аналогично получаем, что прямая BD1 перпендикулярна прямой A1C1. Значит, прямая BD1 перпендикулярна плоскости DA1C1.

Отрезок MN  — средняя линия треугольника ABA1, значит, он параллелен отрезку BA1. Угол между прямой MN и плоскостью DA1C1 равен углу между прямой BA1 и плоскостью DA1C1. Точка F  — проекция точки B на плоскость DA1C1, следовательно, искомый угол равен углу BA1F. B прямоугольном треугольнике BA1D1 тангенс угла A1BD1 равен

 дробь: числитель: A_1 D_1, знаменатель: B A_1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби .

В прямоугольном треугольнике BA1F угол BA1F равен

90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус \angle A_1 B F=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус арктангенс дробь: числитель: 1, знаменатель: корень из 2 конец дроби = арктангенс корень из 2.

Ответ: б)  арктангенс корень из 2 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 991, Задания 13 ЕГЭ–2022