Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 630195
i

Точка O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей грани CDD1C1 куба ABCDA1B1C1D1. Плос­кость  DA1C1 пе­ре­се­ка­ет диа­го­наль  BD1 в точке  F.

а)  До­ка­жи­те, что BF:FD_1=A_1F:FO.

б)  Точки M и N  — се­ре­ди­ны ребер AB и AA1, со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те угол между пря­мой  MN и плос­ко­стью  DA1C1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

a)  Плос­кость DA1C1 пе­ре­се­ка­ет плос­кость BCD1 по пря­мой A1O, зна­чит, точка F  — это точка пе­ре­се­че­ния от­рез­ков BD1 и A1O. Пря­мые BA1 и CD1 па­рал­лель­ны, зна­чит, тре­уголь­ни­ки D1FO и BFA1 по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия

дробь: чис­ли­тель: A_1 F, зна­ме­на­тель: F O конец дроби = дробь: чис­ли­тель: B F, зна­ме­на­тель: F D_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: B A_1, зна­ме­на­тель: D_1 O конец дроби =2.

По­лу­ча­ем, что

B F: F D_1=A_1 F: F O=2: 1.

б)  Пря­мая CD1 яв­ля­ет­ся про­ек­ци­ей пря­мой BD1 на плос­кость CDD1, a пря­мые CD1 и DC1 пер­пен­ди­ку­ляр­ны, зна­чит, по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мая  BD1 пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой  DC1. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что пря­мая  BD1 пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой  A1C1. Зна­чит, пря­мая  BD1 пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти  DA1C1.

От­ре­зок MN  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABA1, зна­чит, он па­рал­ле­лен от­рез­ку BA1. Угол между пря­мой  MN и плос­ко­стью  DA1C1 равен углу между пря­мой  BA1 и плос­ко­стью  DA1C1. Точка  F  — про­ек­ция точки  B на плос­кость  DA1C1, сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мый угол равен углу  BA1F. B пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BA1D1 тан­генс угла  A1BD1 равен

дробь: чис­ли­тель: A_1 D_1, зна­ме­на­тель: B A_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке BA1F угол BA1F равен

90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус \angle A_1 B F=90 в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \circ пра­вая круг­лая скоб­ка минус арк­тан­генс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби = арк­тан­генс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: б) арк­тан­генс ко­рень из 2 .

 

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Методы геометрии: Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах
Классификатор стереометрии: Угол между пря­мой и плос­ко­стью, Куб, Де­ле­ние от­рез­ка
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025