Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 484564
i

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD М  — се­ре­ди­на ребра AD.

а)  До­ка­жи­те, что про­ек­ция точки M на плос­кость BCD делит вы­со­ту DN тре­уголь­ни­ка BCD в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны D.

б)  Най­ди­те угол между ме­ди­а­ной BM грани ABD и плос­ко­стью BCD.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть ребро тет­ра­эд­ра  — a, DN  — вы­со­та грани BCD, O  — центр тре­уголь­ни­ка BCD, MK  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ADO. Тогда AO\bot BCD,MK\parallel AO, зна­чит, MK\bot левая круг­лая скоб­ка BCD пра­вая круг­лая скоб­ка .

Точка O делит ме­ди­а­ну DN в от­но­ше­нии 2:1, счи­тая от вер­ши­ны  D, по­это­му ON=OK=DK= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби DN.

б)  \angle MBK  — ис­ко­мый. Из пунк­та а) KN= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби DN= дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . Далее имеем:

BK= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: BN в квад­ра­те плюс KN в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: a в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби , BM=
= дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , ко­си­нус \angle MBK= дробь: чис­ли­тель: BK, зна­ме­на­тель: BM конец дроби = дробь: чис­ли­тель: a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 2, зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на a ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: арк­ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Методы геометрии: Ис­поль­зо­ва­ние век­то­ров, Свой­ства ме­ди­ан
Классификатор стереометрии: Пра­виль­ный тет­ра­эдр, Се­че­ние  — тре­уголь­ник, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки, Угол между пря­мой и плос­ко­стью
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Скрыть комментарии · Видеокурс · Помощь
Гость 07.02.2014 20:20

Обыч­но в усло­вии пв на­ча­ле пи­шет­ся буква, ко­то­рая яв­ля­ет­ся вер­ши­на. Или же до­пол­ни­тель­но ука­зы­ва­ет­ся какая точка вер­ши­на. Про­сто ре­ше­ние при таком усло­вии ме­ня­ет­ся.

Александр Иванов

Ува­жа­е­мый asdsd adadsa!

Во-пер­вых, при­вет Гон­ду­ра­су!

Во-вто­рых... в пра­виль­ном тет­ра­эд­ре все рёбра равны и все грани равны, по­это­му раз­ли­чий в вер­ши­нах нет. Для осталь­ных пи­ра­мид Ваше утвер­жде­ние аб­со­лют­но верно

Гость 06.04.2014 18:18

Если взять тре­уголь­ник ADN то AD и AN не равны, Сле­ло­ва­тель­но ме­ди­а­на AO из этого тре­уголь­ни­ка не будет вы­со­той, а зна­чит AО не пер­пен­ди­ку­ляр­но BCD.

Константин Лавров

Да, в общем-то, ни о какой ме­ди­а­не в ре­ше­нии речи не было...



О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025