В правильном тетраэдре ABCD точка K — центр грани ABD, точка M — центр грани ACD.
а) Докажите, что прямые BC и KM параллельны.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABD.
а) Рассмотрим медиану CH в треугольнике CAD и медиану BH в треугольнике BAD. Заметим, что 
следовательно, 
Таким образом, треугольники HKM и HBC подобны, а прямые KM и BC параллельны.
б) Отрезок CK соединяет вершину C c точкой K — центром противоположной грани BAD, следовательно, CK — высота тетраэдра, и прямая CK перпендикулярна грани BDA. Тогда плоскость BCH перпендикулярна плоскости BAD, следовательно, проекция KM — это прямая BH, а искомый угол — HKM. Найдём его из треугольника KMH. Пусть ребро тетраэдра a, тогда 
По теореме косинусов,
а тогда 
Ответ: б) 
Приведем решение Ирины Шраго пункта б).
Заметим, что, согласно п. а), угол между прямой KM и плоскостью ABD равен углу между прямой BC и плоскостью ABD, то есть углу CBK.
Пусть ребро тетраэдра рано a, тогда
