В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания 
На ребре BC отмечена точка M так, что BC : MC = 3 : 1, а на ребре AC отмечена точка N так, что AN : NC = 2 : 1. Точка K — середина ребра AB, точка О — центр вписанной окружности треугольника A1B1C1.
а) Докажите, что прямая OK параллельна плоскости MNC1.
б) Найти угол между прямой OK и плоскостью основания, если площадь треугольника MNC1 равна 
а) Заметим, что BM : MC = 2 : 1 = CN : NA, поэтому прямая MN параллельна прямой AB. Обозначим за T середину отрезка MN, тогда точки C, T, K лежат на одной прямой — высоте треугольника ACB. При этом TK : TC = 2 : 1, следовательно, 
(центр правильного треугольника 
равного ABC, делит его высоту в отношении 2 : 1). Заметим, что прямые CK и C1O, лежащие в параллельных плоскостях оснований, лежат также в плоскости KCC1, перпендикулярной ребрам AB и A1B1, следовательно, прямые CK и C1O параллельны, а TKOC1 — параллелограмм. Значит, прямая KO параллельна прямой 
лежащей в плоскости 
поэтому KO параллельна плоскости 
б) Имеем:
Ответ: 