Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, сторона основания которой равна 2, а боковое ребро равно 4. Через точку A проведена плоскость α, перпендикулярная прямой DC1.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD1 в отношении 1 : 3, считая от точки D.
б) Найдите угол между прямой F1D и плоскостью α.
а) Выберем на ребре призмы DD1 точку D2 такую, чтобы отрезки CD2 и C1D были перпендикулярны. Тогда плоскость ACD2 перпендикулярна отрезку C1D, поскольку отрезки AC и CD перпендикулярны. Значит, по теореме о трех перпендикулярах отрезок C1D перпендикулярен отрезку AC. Наконец, перпендикулярны отрезки CD2 и C1D и отрезки AC и C1D, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости плоскость ACD2 перпендикулярна отрезку C1D. Через данную точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой, следовательно, плоскость α совпадает с плоскостью ACD2. Заметим, что 
то есть подобны треугольники C1CD и CDD2, откуда следует
Таким образом, D1D2 = 3 и DD2 : D1D2 = 1 : 3.
б) Пусть прямая F1D пересекает плоскость α в точке P, а прямая C1D — в точке H. Тогда отрезок PH — проекция прямой F1D на плоскость α. Обозначим искомый угол φ. Тогда 
Из треугольника FED по теореме косинусов:
По теореме Пифагора из треугольников DFF1 и DCC1 соответственно получаем:
Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника F1DC1:
Значит, 
то есть 
Ответ: 