В правильной шестиугольной призме ABCDEFA'B'C'D'E'F' все ребра равны 1.
а) Докажите, что AC' перпендикулярна прямой BE.
б) Найдите угол между прямой AC' и плоскостью ACD'.
а) Проекция прямой AC' на плоскость ABC — прямая AC. В правильном шестиугольнике ABCDEF диагонали AC и BE перпендикулярны. Тогда, по теореме о трех перпендикулярах, 
б) Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат:
откуда 
Плоскость 
проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид 
Для координат точек C и 
имеем систему уравнений:
Не теряя общности, положим 
тогда 
Уравнение плоскости : 
вектор нормали к ней 
Тогда искомый угол между прямой 
и плоскостью равен
Ответ: 
Приведем другое решение пункта б).
Заметим, 
в силу того, что 
и 
значит, плоскость содержит прямую 
следовательно, 
и AK — проекция 
Следовательно, 
— искомый, поскольку это угол между прямой и ее проекцией 
Рассмотрим прямоугольный 
(поскольку 
— диагональ квадрата 
).
Ответ: 
Скалярное произведение векторов — это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Тогда почему синус а не косинус получился?
В формуле угла между прямой и плоскостью синус т .к. это угол между прямой и нормалью к этой плоскости.
Если ответ записать через тангенс угла, его зачтут?
Да.
Почему во втором решении
Спасибо.
Потому, что это малая диагональ правильногого шестиугольника.