Грани ABD и ACD тетраэдра ABCD являются правильными треугольниками со стороной 3 и перпендикулярны друг другу. На рёбрах 
и CD отмечены точки K, L и M соответственно, причём 
а) Докажите, что плоскость KLM перпендикулярна ребру CD.
б) Найдите длину отрезка пересечения грани ABC с плоскостью KLM.
а) В треугольнике MLD имеем: DL = 2, MD = 1 и 
(рис. 1). Следовательно, 
Аналогично 
Плоскости ACD и ABD перпендикулярны. Следовательно, перпендикулярна плоскости ACD. Прямые KL и ML перпендикулярны прямой CD. Следовательно, прямая CD перпендикулярна плоскости KLM.
б) Из прямоугольных треугольников MLD и LKA имеем: 
Пусть прямые LK и BD пересекаются в точке E (рис. 2), а прямые EM и BC пересекаются в точке N. Треугольник EBK равнобедренный с углом 120° при вершине B, поэтому 
и 
Рассмотрим точку 
на ребре BD такую, что прямые BN и 
параллельны. Тогда
Следовательно,
В прямоугольном треугольнике ELM имеем:
По теореме косинусов для треугольника EKN имеем:
Искомый отрезок NK равен 
Ответ: б)