а)  Пусть точка M₁ делит ребро AD в от­но­ше­нии тогда

и мно­го­гран­ник M₁BCDMB₁C₁D₁  — па­рал­ле­ле­пи­пед. Пусть плос­кость MCK пе­ре­се­ка­ет ребро BB₁ в не­ко­то­рой точке P. Про­ти­во­по­лож­ные грани па­рал­ле­ле­пи­пе­да па­рал­лель­ны, по­это­му па­рал­лель­ны пря­мые KM и CP, по ко­то­рым эти грани пе­ре­се­че­ны плос­ко­стью се­че­ния. От­рез­ки KM и CP равны как от­рез­ки па­рал­лель­ных пря­мых, за­клю­чен­ные между па­рал­лель­ны­ми плос­ко­стя­ми, и MKCP  — па­рал­ле­ло­грамм. Сле­до­ва­тель­но, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки CPB и MKD₁ равны по ка­те­ту и ги­по­те­ну­зе: BC  =  MD₁ и CP  =  MK. Тогда

а зна­чит, точка P  — се­ре­ди­на ребра BB₁. От­рез­ки BP и KD равны и па­рал­лель­ны, тогда BPKD  — па­рал­ле­ло­грамм, и, зна­чит, пря­мая PK па­рал­лель­на пря­мой BD. Пря­мая PK лежит в плос­ко­сти MKC, а пря­мая BD не лежит в этой плос­ко­сти, тогда по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти пря­мой и плос­ко­сти плос­кость MKC па­рал­лель­на пря­мой BD  — что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  За­ме­тим, что MKCP  — па­рал­ле­ло­грамм с пря­мым углом, сле­до­ва­тель­но, MKCP  — пря­мо­уголь­ник. Угол между плос­ко­стью MKC и плос­ко­стью ABCD будем ис­кать с по­мо­щью пло­ща­ди про­ек­ции. Про­ек­ция пря­мо­уголь­ни­ка MKCP на плос­кость это па­рал­ле­ло­грамм Пусть D₁K  =  x, KD  =  x. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

тогда

Если то тре­уголь­ник B₁A₁M  — рав­но­сто­рон­ний, C₁D₁  =  A₁B₁  =  CD  =  A₁M  =  2. Най­дем длину BD:

Най­дем зна­че­ние x:

Тогда Пло­щадь MKCP равна, таким об­ра­зом, Пло­щадь равна Най­дем ко­си­нус угла между плос­ко­стью MKC и плос­ко­стью ос­но­ва­ния:

Тогда а

Ответ: