В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. На боковых рёбрах SA, SC и SD отмечены точки K, L и M соответственно так, что SK : KA = SL : LC = 2 : 1 и SM = MD.
а) Докажите, что плоскость KML содержит точку B.
б) Найдите объём пирамиды BAKMD, если площадь параллелограмма ABCD равна 21, а высота пирамиды SABCD равна 12.
а) Пусть прямые ML и CD пересекаются в точке Q, а прямые MK и АD пересекаются в точке P. По теореме Менелая для треугольника DSC и прямой QM получим:
Следовательно, 
Аналогично получаем, что 
Заметим, что 
поэтому треугольники PAB и BCQ равны. Имеем:
Из полученного равенства следует, что точки P, B и Q лежат на одной прямой, то есть PQ принадлежит плоскости KML.
б) Рассмотрим отношение площадей треугольников SMK и SDA, имеем:
Поскольку пирамиды BMKDA и BSDA имеют общую высоту, получаем:
Ответ: б) 28.