В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость BA₁C₁ и пря­мая пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между плос­ко­стя­ми BA₁C₁ и BA₁D₁.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые B₁D и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми AB₁D₁ и ACD₁.

Ко­си­нус угла между бо­ко­вой гра­нью и ос­но­ва­ни­ем пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен

а)  До­ка­жи­те, что плос­кий угол при вер­ши­не пи­ра­ми­ды равен

б)  Най­ди­те угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми этой пи­ра­ми­ды.

Ко­си­нус угла между бо­ко­вой гра­нью и ос­но­ва­ни­ем пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен

а)  До­ка­жи­те, что вы­со­та пи­ра­ми­ды, про­ве­ден­ная к бо­ко­вой грани, боль­ше чем вы­со­та пи­ра­ми­ды, про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию.

б)  Най­ди­те угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми этой пи­ра­ми­ды.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти и пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми AB₁D₁ и ACD₁.

Дан па­рал­ле­ле­пи­пед ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти и па­рал­лель­ны.

б)  Пусть до­пол­ни­тель­но из­вест­но, что па­рал­ле­ле­пи­пед пря­мо­уголь­ный, кроме того AB  =  4, BC  =  6, CC₁  =  4. Най­ди­те тан­генс угла между плос­ко­стя­ми CDD₁ и BDA₁.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны рёбра AB  =  35, AD  =  12, CC₁  =  21.

а)  До­ка­жи­те, что вы­со­ты тре­уголь­ни­ков ABD и A₁BD, про­ведённые к сто­ро­не BD, имеют общее ос­но­ва­ние.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и A₁DB.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 4, бо­ко­вые рёбра равны 7, точка D  — се­ре­ди­на ребра BB₁.

а)  Пусть пря­мые C₁D и BC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E. До­ка­жи­те, что угол EAC  — пря­мой.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и ADC₁.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти AA₁D₁ и DB₁F₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те тан­генс угла между плос­ко­стя­ми ABC и DB₁F₁.

Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая BD₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ACB₁.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми AD₁C₁ и A₁D₁C.

Дана пря­мая приз­ма ABCDA₁B₁C₁D₁. Ос­но­ва­ние приз­мы  — ромб с ост­рым углом

а)   До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью AC₁B и плос­ко­стью ABD, если вы­со­та приз­мы равна 5, а ребро ос­но­ва­ния равно 4.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния а бо­ко­вое ребро AA₁  =  5.

а)  Най­ди­те длину от­рез­ка A₁K, где K  — се­ре­ди­на ребра BC.

б)  Най­ди­те тан­генс угла между плос­ко­стя­ми BCA₁ и BB₁C₁.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния а бо­ко­вое ребро AA₁  =  8.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость BCA₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через ребро AA₁ и се­ре­ди­ну ребра B₁C₁.

б)  Най­ди­те тан­генс угла между плос­ко­стя­ми BCA₁ и BB₁C₁.

Дана четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с пря­мо­уголь­ни­ком ABCD в ос­но­ва­нии. Сто­ро­на AB равна 4, а BC равна Вер­ши­на пи­ра­ми­ды S про­еци­ру­ет­ся в точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей пря­мо­уголь­ни­ка. Из вер­ши­ны A и C на ребро SB опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры AP и CQ.

а)  До­ка­жи­те, что точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка BQ.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми SBA и SBC, если ребро SD равно 8.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 2, бо­ко­вые ребра равны 3, точка D  — се­ре­ди­на ребра CC₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость делит объем приз­мы по­по­лам.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми ABC и ADB₁.

Дана пря­мая приз­ма АВСA₁B₁C₁.

а)  До­ка­жи­те, что линия пе­ре­се­че­ния плос­ко­стей АВС₁ и А₁В₁С па­рал­лель­на ос­но­ва­ни­ям приз­мы.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми АВС₁ и А₁В₁С, если из­вест­но, что АС  =  1, ВС  =  2, АВ  =   СС₁  =  3.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да.

а)  До­ка­жи­те, что её про­ти­во­по­лож­ные ребра пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Пусть из­вест­но, что ко­си­нус угла между бо­ко­вой гра­нью и ос­но­ва­ни­ем равен Най­ди­те угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми этой пи­ра­ми­ды.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да.

а)  До­ка­жи­те, что её про­ти­во­по­лож­ные ребра пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Пусть ко­си­нус угла между бо­ко­вой гра­нью и ос­но­ва­ни­ем равен Най­ди­те угол между бо­ко­вы­ми гра­ня­ми этой пи­ра­ми­ды.

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник ABCD, в ко­то­ром ВС  =  2АВ. Диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка ABCD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке О. От­ре­зок SO яв­ля­ет­ся вы­со­той пи­ра­ми­ды SABCD. Из вер­шин А и С опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры АР и CQ на ребро SB.

а)  До­ка­жи­те, что BP : PQ = 1 : 3.

б)  Най­ди­те дву­гран­ный угол пи­ра­ми­ды при ребре SB, если SB  =  BC.

Ос­но­ва­ни­ем че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ник ABCD, при­чем BC  =  6. Вы­со­та пи­ра­ми­ды про­хо­дит через точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей пря­мо­уголь­ни­ка. Из вер­шин A и C опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры AP и CQ на ребро SB.

а)  До­ка­жи­те, что P  — се­ре­ди­на BQ.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми SBA и SBC, если SD  =  9.

В ос­но­ва­нии тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Ос­но­ва­ние вы­со­ты SO этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра AB.

а)  До­ка­жи­те, что SA  =  SC.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми SAC и ABC, если AB  =  30, SC  =  17, СB  =  24.

Дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ cо сто­ро­ной ос­но­ва­ния и бо­ко­вым реб­ром 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти ACA₁ и B₁CE₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми B₁CE₁ и ABC.

Дана че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с пря­мо­уголь­ни­ком ABCD в ос­но­ва­нии, AB  =  2, Вы­со­та пи­ра­ми­ды про­ек­ти­ру­ет­ся в точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния. Из вер­шин A и C на ребро SB опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры AP и CQ.

а)  До­ка­жи­те, что точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка BQ.

б)  Най­ди­те угол между гра­ня­ми SBA и SBC, если ребро SD  =  4.

Дана че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCD с пря­мо­уголь­ни­ком ABCD в ос­но­ва­нии, AB  =  6 и Вы­со­та пи­ра­ми­ды про­еци­ру­ет­ся в точку пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния. Из вер­шин А и C на ребро SB опу­ще­ны пер­пен­ди­ку­ля­ры AP и CQ.

а)  До­ка­жи­те, что точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка BQ.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми SBA и SBC, если ребро SD  =  12.