Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д6 C2 № 505247

Косинус угла между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен  дробь, числитель — корень из { 6}, знаменатель — 6 . Найдите угол между боковыми гранями этой пирамиды.

Решение.

Пусть SABC — данная пирамида с вершиной S, SH — ее высота, M — середина BC, CK — высота равнобедренного треугольника BSC, а AK — равного ему треугольника ASB. Таким образом, искомый угол AKC. Угол SMH — угол между боковой гранью пирамиды и основанием.

Пусть SM = 6a. тогда

MH=SM косинус \angle{SMH}=a корень из { 6},AM=3a корень из { 6},

BC=6a корень из { 2},SB= корень из { BM в степени 2 плюс SM в степени 2 }=3a корень из { 6}.

Заметим, что площадь треугольника BSC может быть вычислена двумя способами: S_{BSC}= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 SM умножить на BC= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 CK умножить на SB. Значит, CK=4a корень из { 3}.

Теперь мы можем найти искомый угол AKC при вершине равнобедренного треугольника

 косинус \angle{AKC}= дробь, числитель — 2KC в степени 2 минус AC в степени 2 , знаменатель — 2KC в степени 2 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 .

 

Ответ: \arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 .


Аналоги к заданию № 505237: 505247 511399 Все

Источник: ЕГЭ по математике 08.05.2014. Досрочная волна, резервный день. Вариант 2.
Методы геометрии: Метод площадей
Классификатор стереометрии: Правильная треугольная пирамида, Угол между плоскостями