Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 563595

В основании треугольной пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой ребра AB.

а) Докажите, что SA = SC.

б) Найдите угол между плоскостями SAC и ABC, если AB = 30, SC = 17, СB = 24.

Спрятать решение

Решение.

а) По свойству прямоугольного треугольника ABC медиана CO равна половине гипотенузы AB, иными словами CO = AO. Тогда наклонные SA и SC имеют равные проекции AO и CO соответственно, следовательно, SA = SC, что и требовалось.

б) Опустим из точки O перпендикуляр OK на AC. Так как OK — проекция SK на плоскость ABC, то по теореме о трех перпендикулярах SKAC, и ∠SKO — искомый по определению угла между плоскостями.

В прямоугольном треугольнике SAO имеем:  SA = SC = 17 по доказанному ранее, AO = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB = 15. Тогда по теореме Пифагора SO = 8. Далее, так как O — середина AB, а OK || BC (как перпендикуляры к AC), отрезок OK — средняя линия треугольника ABC, откуда OK = 12. Наконец,  тангенс \angle SKO = дробь: числитель: SO, знаменатель: OK конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , а \angle SKO = арктангенс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

 

Ответ: арктангенс дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 563595: 563654 Все

Источник: ЕГЭ по математике 07.06.2021. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, другие города. Вариант 358 (часть С), Задания 14 ЕГЭ–2021