Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 515706
i

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA1B1C1 сто­ро­на ос­но­ва­ния AB=7 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , а бо­ко­вое ребро AA1  =  8.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость BCA1 пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через ребро AA1 и се­ре­ди­ну ребра B1C1.

б)  Най­ди­те тан­генс угла между плос­ко­стя­ми BCA1 и BB1C1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим за M_1 се­ре­ди­ну ребра B_1C_1. Оче­вид­но, BC\perp AA_1,BC\perp A_1M_1 (так как BC\parallel B_1C_1.) Зна­чит, BC\perp AA_1M_1. Итак, плос­кость A_1BC со­дер­жит пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную к плос­ко­сти AA_1M_1, по­это­му плос­ко­сти пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

 

б)   Обо­зна­чим за M се­ре­ди­ну BC. По­сколь­ку плос­ко­сти пе­ре­се­ка­ют­ся по пря­мой BC, нас ин­те­ре­су­ет угол между пер­пен­ди­ку­ля­ра­ми к BC, про­ве­ден­ны­ми в этих плос­ко­стях. Оче­вид­но MM_1\perp BC (так как MM_1\parallel BB_1\perp ABC) и A_1M\perp BC по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах (про­ек­ция A_1M на ABC это AM\perp BC.) По­это­му

тан­генс \angle левая круг­лая скоб­ка BCA_1,BB_1C_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = тан­генс \angle левая круг­лая скоб­ка A_1M,MM_1 пра­вая круг­лая скоб­ка = тан­генс \angle A_1MM_1= дробь: чис­ли­тель: A_1M_1, зна­ме­на­тель: MM_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AB, зна­ме­на­тель: AA_1 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби .

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 21, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: Ти­по­вые те­сто­вые за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке под ре­дак­ци­ей И. В. Ящен­ко 2017. Ва­ри­ант 4. (Часть 2)
Методы геометрии: Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, Угол между плос­ко­стя­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025