Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 531558

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, в котором ВС = 2АВ. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Отрезок SO является высотой пирамиды SABCD. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB.

а) Докажите, что BP : PQ = 1 : 3.

б) Найдите двугранный угол пирамиды при ребре SB, если SB = BC.

Спрятать решение

Решение.

а) Вычислим  косинус \angleSBA= дробь: числитель: AB, знаменатель: 2SB конец дроби = дробь: числитель: PB, знаменатель: AB конец дроби , следовательно, PB= дробь: числитель: AB в квадрате , знаменатель: 2SB конец дроби . Теперь вычислим

 косинус \angleSBC = дробь: числитель: BC, знаменатель: 2SB конец дроби = дробь: числитель: AB, знаменатель: SB конец дроби = дробь: числитель: QB, знаменатель: CB конец дроби = дробь: числитель: QB, знаменатель: 2AB конец дроби ,

откуда QB= дробь: числитель: 2AB в квадрате , знаменатель: SB конец дроби , следовательно, QB = 4PB и BP : PQ = 1 : 3.

б) Проведем из точки P отрезок PT параллельно CQ, T лежит на ребре BC. Тогда APT — линейный угол двугранного угла при ребре SP, то есть искомый. Пусть AB = a, BC = SB = 2a. Тогда

CQ = дробь: числитель: 2a корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби =a корень из 3 и  дробь: числитель: PT, знаменатель: CQ конец дроби = дробь: числитель: BP, знаменатель: BQ конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,

следовательно, PT= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби SQ= дробь: числитель: a корень из 3, знаменатель: 4 конец дроби .

Вычислим:

BP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби BQ= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SB= дробь: числитель: a, знаменатель: 4 конец дроби , AP= корень из a в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: a корень из 15, знаменатель: 4 конец дроби ,  дробь: числитель: TB, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: BP, знаменатель: BQ конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ,

следовательно, TB= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби , AT= корень из a в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: a корень из 5, знаменатель: 2 конец дроби .

Найдем угол APT из теоремы косинусов для треугольника APT:

 дробь: числитель: 5a в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби = дробь: числитель: 15a в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби плюс дробь: числитель: 3a в квадрате , знаменатель: 16 конец дроби минус 2 дробь: числитель: a корень из 15, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: a корень из 3, знаменатель: 4 конец дроби косинус \angleAPT,

откуда  косинус \angleAPT= минус дробь: числитель: корень из 5, знаменатель: 15 конец дроби . Таким образом, \angleAPT= арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из 5, знаменатель: 15 конец дроби правая круглая скобка .

 

Ответ: б)  арккосинус левая круглая скобка минус дробь: числитель: корень из 5, знаменатель: 15 конец дроби правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 299.
Методы геометрии: Теорема косинусов