СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 531558

Основанием пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, в котором ВС = 2АВ. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Отрезок SO является высотой пирамиды SABCD. Из вершин А и С опущены перпендикуляры АР и CQ на ребро SB.

а) Докажите, что BP : PQ = 1 : 3.

б) Найдите двугранный угол пирамиды при ребре SB, если SB = BC.

Решение.

а) Вычислим следовательно, Теперь вычислим

откуда Следовательно, QB = 4PB и BP : PQ = 1 : 3.

б) Проведем из точки P отрезок PT параллельно CQ, где T лежит на стороне BT. Тогда APT — линейный угол двугранного угла при ребре SP, то есть искомый. Пусть AB = a, BC = SB = 2a. Тогда

и

следовательно,

Вычислим:

следовательно

Найдем угол APT из теоремы косинусов для треугольника APT:

откуда Таким образом,

 

Ответ: б)

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 299.