а) Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что все грани тетраэдра ACB1D1 — равные треугольники (тетраэдр, обладающий таким свойством, называют равногранным).
б) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между плоскостью A1BC и прямой BC1, если AA1 = 8, AB = 6, BC = 15.
Решение. а) Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда — равные прямоугольники, поэтому их диагонали равны. Таким образом,
Значит, все грани равны по третьему признаку равенства треугольников.
б) Сечение плоскостью A1BC есть прямоугольник A1BCD1.
Из точки C1 проведем перпендикуляр C1H к CD1. C1H ⊥ CD1, C1H ⊥ CB, следовательно, C1H перпендикулярна плоскости A1BC. BH — проекция BC1 на плоскость A1BC. Значит, нужно найти угол C1BH.
В прямоугольном треугольнике D1C1C находим:
В прямоугольном треугольнике BCC1 находим: BC1 = 17.
В прямоугольном треугольнике C1HB находим: 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны рёбра: 
Точки M и N — середины рёбер AS и BC соответственно.
а) Докажите что отрезок MN делится пополам высотой пирамиды, проведенной из вершины S.
б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой MN.
Решение. а) Прямая AS проектируется на плоскость основания на прямую AN. Поэтому проекция точки M — точка M1, лежащая на отрезке AN. Значит, прямая AN является проекцией прямой MN. Заметим, что отрезок MM1 параллелен отрезку SO, где O — центр основания, значит, отрезок MM1 — средняя линия треугольника ASO, а поэтому точка M1 — середина отрезка AO. Отсюда M1O = ON, то есть проекция MN делится высотой SO пополам. Тогда и сам отрезок MN делится высотой SO пополам.
б) Из решения пункта а) следует, что угол MNM1 — искомый. Получаем:
и 
Из прямоугольного треугольника AM1M находим:
Из прямоугольного треугольника MM1N находим:
Значит, искомый угол равен 
Ответ: б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = 5 и BC = 8. Высота призмы равна 3.
а) Докажите, что треугольник A1BC остроугольный.
б) Найдите угол между прямой A1B и плоскостью BCC1.
Решение. а) Найдем по теореме Пифагора A1B:
Отсюда
поэтому по теореме косинусов 
то есть угол BA1C острый. Два других угла треугольника A1BC острые как углы при основании равнобедренного треугольника. Что и требовалось доказать.
б) Поскольку призма ABCA1B1C1 прямая, то высота A1M треугольника A1B1C1 перпендикулярна плоскости BCC1. Поэтому прямая BM — проекция прямой A1B на плоскость BCC1. Значит, искомый угол равен углу A1BM.
и 
поэтому BM = 5 и
Отсюда
Следовательно, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3. Длины боковых рёбер пирамиды 
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.
Решение. а) Рассмотрим треугольник SAB, у которого стороны
и 
Значения этих сторон удовлетворяют равенству 
следовательно, треугольник SAB прямоугольный, SA ⊥ AB.
Рассмотрим треугольник SAD со сторонами 
Длины сторон треугольника удовлетворяют равенству 
то есть он является прямоугольным, SA ⊥ AD.
Из перпендикулярности SA ⊥ AB и SA ⊥ AD следует, что SA ⊥ (ABC) и, следовательно, SA — высота пирамиды.
б) Из п а) 
Кроме того, 
следовательно, 
Таким образом, проекцией SC на плоскость SAB будет прямая SB. Значит, нужно найти угол между прямыми SC и SB, то есть угол φ = ∠CSB.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SCB. Тангенс угла φ равен
Ответ: 30°.
Примечание.
Можно было бы найти косинусы углов DAS и BAS из треугольников DAS и BAS, применив по теорему косинусов. Оба косинуса равны нулю, из чего следует, что прямая SA перпендикулярна двух пересекающимся прямым DA и BA, лежащим в одной плоскости. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая SA перпендикулярна плоскости основания, а ребро SA — высота пирамиды.
Примечание 2.
Рекомендуем сравнить эту задачу с задачей 637818.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
а) Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Докажите, что все грани тетраэдра ACB1D1 — равные треугольники (тетраэдр, обладающий таким свойством, называют равногранным).
б) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AA1 = 4, A1D1 = 6, C1D1 = 6, найдите тангенс угла между плоскостью ADD1 и прямой EF, проходящей через середины ребер AB и B1C1.
Решение. а) Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда — равные прямоугольники, поэтому их диагонали равны. Таким образом,
Значит, все грани равны по третьему признаку равенства треугольников.
б) Найдем угол между прямой EF и плоскостью BB1C1C. Точка B — проекция точки E на эту плоскость. Искомый угол есть 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC известны ребра 
SC = 25. M — середина ребра SA.
а) Докажите, что проекции точек S и M на плоскость основания делят высоту AN треугольника ABC на три равные части.
б) Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой MN.
Решение. а) Проекция точки S на плоскость основания — это точка O, центр основания. Центр правильного треугольника является точкой пересечения его медиан, поэтому AO : ON = 2 : 1. Проекцией прямой AS на плоскость основания является прямая AN. Поэтому проекция точки M — точка
— лежит на отрезке AN. M — середина AS, поэтому — середина отрезка AO. Таким образом, проекции точек S и M на плоскость основания делят высоту AN треугольника ABC на три равные части.
б) AN — медиана правильного треугольника ABC, значит, 
Проекцией прямой MN является прямая AN, следовательно, угол 
— искомый. 
где O — центр основания, значит, 
— средняя линия треугольника ASO, поэтому 
Тогда 
и 
Из прямоугольного треугольника 
находим:
Из прямоугольного треугольника 
находим:
Значит, искомый угол равен 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, AB = AC = 5, BC = 8. Высота призмы равна 3. Точка M — середина ребра B1C1.
а) Докажите, что плоскость BA1M перпендикулярна плоскости BCC1.
б) Найдите угол между прямой A1B и плоскостью BCC1.
Решение. а) Заметим, что
— высота треугольника 
Призма 
прямая, поэтому перпендикулярна плоскости 
Поэтому 
по признаку перпендикулярности плоскостей.
б) Прямая BM — проекция прямой 
на плоскость Значит, искомый угол равен углу 
Так как 
имеем: 
Отсюда 
Следовательно,
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны AB = 2, AD = AA1 = 1.
а) Пусть B1E — высота треугольника BB1C1. Докажите, что AE — проекция AB1 на плоскость ABC1.
б) Найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1.
Решение. а) Плоскости
и 
перпендикулярны. Перпендикуляр из точки 
к плоскости лежит в плоскости и пересекает прямую 
в точке 
Поэтому AE — проекция 
на плоскость 
б) По предыдущему пункту искомый угол равен углу 
В прямоугольном треугольнике 
катет 
гипотенуза 
Поэтому
Тогда 
Ответ: 
Примечание.
Возможны другие формы ответа: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
а) Докажите, что в правильной треугольной пирамиде SABC, где S — вершина пирамиды, прямая SC перпендикулярна прямой AB.
б) Пусть высота SO составляет 
от высоты SM боковой грани SAB. Найдите угол между плоскостью основания пирамиды и её боковым ребром.
Решение. а) Пусть проекция точки S на плоскость ABC — точка O. O — центр правильного треугольника ABC, поэтому
а значит, по теореме о трех перпендикулярах, 
б) Пусть 
и 
Тогда
Из треугольника COS находим:
Тогда искомый угол равен 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA'B'C'D'E'F' все ребра равны 1.
а) Докажите, что AC' перпендикулярна прямой BE.
б) Найдите угол между прямой AC' и плоскостью ACD'.
Решение. а) Проекция прямой AC' на плоскость ABC — прямая AC. В правильном шестиугольнике ABCDEF диагонали AC и BE перпендикулярны. Тогда, по теореме о трех перпендикулярах,
б) Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат:
откуда 
Плоскость 
проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид 
Для координат точек C и 
имеем систему уравнений:
Не теряя общности, положим 
тогда 
Уравнение плоскости : 
вектор нормали к ней 
Тогда искомый угол между прямой 
и плоскостью равен
Ответ: 
Приведем другое решение пункта б).
Заметим, 
в силу того, что 
и 
значит, плоскость содержит прямую 
следовательно, 
и AK — проекция 
Следовательно, 
— искомый, поскольку это угол между прямой и ее проекцией 
Рассмотрим прямоугольный 
(поскольку 
— диагональ квадрата 
).
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильном тетраэдре ABCD М — середина ребра AD.
а) Докажите, что проекция точки M на плоскость BCD делит высоту DN треугольника BCD в отношении 1 : 2, считая от вершины D.
б) Найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD.
Решение. а) Пусть ребро тетраэдра — a, DN — высота грани BCD, O — центр треугольника BCD, MK — средняя линия треугольника
Тогда 
значит, 
Точка O делит медиану DN в отношении 
считая от вершины D, поэтому 
б) 
— искомый. Из пункта а) 
Далее имеем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Точка M — середина бокового ребра пирамиды AP.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через точки B и M и перпендикулярная плоскости BDP, делит высоту пирамиды пополам.
б) Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP.
Решение. а) Пусть отрезок PH — высота пирамиды PABCD, отрезок MN — средняя линия треугольника APH (см. рис.).
Поскольку PABCD — правильная пирамида, точка H — центр квадрата ABCD, значит, 
и 
откуда 
Но 
следовательно, 
Значит, плоскость BMN перпендикулярна плоскости BDP по признаку перпендикулярности плоскостей. Через точки B и M можно провести только одну плоскость, перпендикулярную BPD, и эта плоскость является плоскостью BMN, делящей высоту пирамиды пополам. Таким образом, утверждение задачи доказано.
б) Прямая BN — проекция прямой BM на плоскость BDP, значит, угол между прямой BM и плоскостью BDP равен углу между прямой BM и прямой BN, то есть острому углу MBN прямоугольного треугольника 
Примем длину ребра данной пирамиды за a, тогда медиана равностороннего треугольника 
и, следовательно, 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 известны рёбра: AB
AA1 = 4. Точка M — середина ребра BC.
а) Докажите, что прямые B1C и C1M перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямой C1M и плоскостью грани ABB1A1.
Решение. а) Поскольку
и 
перпендикулярны.
б) Пусть — середина 
тогда угол между прямой и плоскостью грани 
равен углу между этой плоскостью и прямой 
Обозначим через 
перпендикуляр, опущенный на 
Прямая перпендикулярна плоскости грани 
поскольку она перпендикулярна прямым 
и 
Поэтому искомый угол равен углу 
В прямоугольном треугольнике 
:
откуда 
Ответ: б) 30°.
Приведём векторное решение Дениса Чернышёва (Тюмень).
а) Введем векторы
как показано на рисунке, и выразим через введённый базис векторы
Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, а значит, и любой лежащей в ней прямой, поэтому 
откуда
Подставляя 
получим
Значит, прямые B1C и C1M перпендикулярны, что и требовалось доказать.
б) Пусть искомый угол между прямой C1M и плоскостью грани ABB1A1 равен α. Чтобы найти его, нужно знать вектор, перпендикулярный к плоскости 
Это вектор 
Тогда
Учитывая, что 
получаем:
Значит, 
Приведем решение Ивана Иванова (Владивосток).
а) Введём прямоугольную систему координат: поместим начало координат в точку A, ось Ox направим вдоль прямой AB, ось Oy — перпендикулярно AB в плоскости ABC так, чтобы ордината точки C была положительной, а ось Oz направим вдоль прямой AA1 (см. рис.). В данной системе координат находим координаты точек:
Далее находим:
Скалярное произведение векторов равно нулю, значит, вектор 
перпендикулярен вектору 
Эти векторы являются направляющими векторами прямых B1C и C1M следовательно, эти прямые перпендикулярны.
б) Плоскость грани ABB1A1 — это плоскость Axz, уравнение которой имеет вид y = 0. Единичный вектор нормали к этой плоскости имеет вид 
Синус угла φ между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости, то есть косинусу угла между направляющим вектором прямой C1M и нормалью к плоскости грани ABB1A1:
значит, искомый угол равен 30°.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α, параллельная ребру MC.
а) Докажите, что плоскость α параллельна ребру MD.
б) Найдите угол между плоскостью α и прямой AC.
Решение.
а) Пусть точка Q — середина ребра MA, а точка K — середина ребра MB. Плоскость 
пересекает грань BMC по отрезку KL (точка L лежит на ребре BC), параллельному ребру MC. Ребро CD параллельно ребру AB, а ребро AB параллельно отрезку QK. Следовательно, плоскость параллельна плоскости грани CMD. Поэтому прямая MD параллельна плоскости 
б) Пусть длина стороны основания равна a. Вместо плоскости рассмотрим параллельную ей плоскость CMD. Проведём к ней перпендикуляр OH из центра основания — точки O. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью MOH. Это сечение — прямоугольный равнобедренный треугольник NMG, поскольку по условию грани CMD и AMB перпендикулярны. Отрезок OH параллелен катету MN этого треугольника и равен его половине:
Искомый угол равен углу HCO. В прямоугольном треугольнике OHC имеем:
Ответ: б) 30°.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Дана пирамида SABC, в которой 
а) Докажите, что ребро SA перпендикулярно ребру BC.
б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC.
Решение. а) Треугольники SBC и АВС равнобедренные и имеют общее основание. Проведем медианы SN и AN к этому основанию. Они попадут в одну точку точку N, которая является серединой ВС, и будут являться высотами данных треугольников. Таким образом, прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости ASN, а значит, и всей этой плоскости. Но тогда прямая ВС перпендикулярна любой прямой плоскости ASN. В частности, перпендикулярна прямой SA, что и требовалось доказать.
б) Построим высоту АМ треугольника ASN. Заметим, что АМ перпендикулярна плоскости SВС, поскольку по построению перпендикулярна прямой SN и в то же время перпендикулярна прямой ВС. Тогда прямая SN является проекцией SА на плоскость SBC, а значит, угол между прямой SA и плоскостью SBC есть угол ASM.
Заметим, что 
а 
Пусть точка М делит ребро SN на отрезки x и 
Выразим квадрат катета AМ из треугольников AMS и АМN и приравняем найденные значения:
Тогда 
откуда 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Точка K — середина ребра A1B1, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC = 1 : 3.
а) Докажите, что KM перпендикулярно AC.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABC, если AB = 12, AC = 16 и AA1 = 6.
Решение. а) Пусть L — середина ребра AB, E — середина ребра AС. Треугольник ABC равнобедренный, поэтому отрезок BE перпендикулярен отрезку AС. Поскольку AM : MC = 1 : 3, имеем AM = ME. Значит, треугольник AML подобен треугольнику AEB. Следовательно, отрезок LM перпендикулярен отрезку AС. Поскольку отрезок KL перпендикулярен плоскости ABC, получаем, что отрезок AC перпендикулярен плоскости KLM, а значит, KM перпендикулярно AC.
б) Отрезок KL перпендикулярен плоскости ABC и отрезок KM перпендикулярен отрезку AC, поэтому искомый угол равен углу LMK. Имеем KL = AA1 = 6, 
Следовательно,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 2. Точка M — середина ребра A1C1, а точка O — точка пересечения диагоналей боковой грани ABB1A1.
а) Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, являющегося сечением призмы ABCA1B1C1 плоскостью AMB, лежит на отрезке OC1.
б) Найдите угол между прямой OC1, и плоскостью AMB.
Решение. а) Проведем AM, MN параллельно AB и NB. Таким образом, равнобедренная трапеция AMNB — искомое сечение. Введем обозначения, как показано на рисунке. Точка I — точка пересечения диагоналей трапеции, точки P и T — середины верхнего и нижнего основания трапеции соответственно, точка L — середина A1B1,
Проведем отрезок C1O, он равен 
Если мы докажем, что сумма отрезков C1I и IO равна длине отрезка C1O, то точка пересечения диагоналей четырехугольника будет действительно лежать на этом отрезке. 
диагональ трапеции 
В треугольнике TIO по теореме косинусов найдем IO.
В треугольнике INC1 найдем гипотенузу IC1. Она равна
Сложим отрезки IC1 и IO: 
б) Введем систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат имеем:
Составим уравнение плоскости 
по трем точкам, получим:
Тогда вектор нормали равен 
Найдем искомый угол как 
Таким образом, искомый угол равен 
Ответ: б)
Приведём решение Ирины Шраго.
а) Из треугольников MIN и BIA с коэффициентом подобия 
следует, что 
Прямая PT является линией пересечения 
и AMB, причём PT пересекает ОС1 именно в точке I, поскольку ТP и C1O — медианы треугольника С1TL, а значит, точкой пересечения делятся так же. Что и требовалось доказать.
б) Плоскость CC1L перпендикулярна сечению, поэтому 
вычислим:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания 
На ребре BC отмечена точка M так, что BC : MC = 3 : 1, а на ребре AC отмечена точка N так, что AN : NC = 2 : 1. Точка K — середина ребра AB, точка О — центр вписанной окружности треугольника A1B1C1.
а) Докажите, что прямая OK параллельна плоскости MNC1.
б) Найти угол между прямой OK и плоскостью основания, если площадь треугольника MNC1 равна 
Решение. а) Заметим, что BM : MC = 2 : 1 = CN : NA, поэтому прямая MN параллельна прямой AB. Обозначим за T середину отрезка MN, тогда точки C, T, K лежат на одной прямой — высоте треугольника ACB. При этом TK : TC = 2 : 1, следовательно,
(центр правильного треугольника 
равного ABC, делит его высоту в отношении 2 : 1). Заметим, что прямые CK и C1O, лежащие в параллельных плоскостях оснований, лежат также в плоскости KCC1, перпендикулярной ребрам AB и A1B1, следовательно, прямые CK и C1O параллельны, а TKOC1 — параллелограмм. Значит, прямая KO параллельна прямой 
лежащей в плоскости 
поэтому KO параллельна плоскости 
б) Имеем:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильном тетраэдре ABCD точка K — центр грани ABD, точка M — центр грани ACD.
а) Докажите, что прямые BC и KM параллельны.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABD.
Решение. а) Рассмотрим медиану CH в треугольнике CAD и медиану BH в треугольнике BAD. Заметим, что
следовательно, 
Таким образом, треугольники HKM и HBC подобны, а прямые KM и BC параллельны.
б) Отрезок CK соединяет вершину C c точкой K — центром противоположной грани BAD, следовательно, CK — высота тетраэдра, и прямая CK перпендикулярна грани BDA. Тогда плоскость BCH перпендикулярна плоскости BAD, следовательно, проекция KM — это прямая BH, а искомый угол — HKM. Найдём его из треугольника KMH. Пусть ребро тетраэдра a, тогда 
По теореме косинусов,
а тогда 
Ответ: б) 
Приведем решение Ирины Шраго пункта б).
Заметим, что, согласно п. а), угол между прямой KM и плоскостью ABD равен углу между прямой BC и плоскостью ABD, то есть углу CBK.
Пусть ребро тетраэдра рано a, тогда
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Основание ABCD призмы 
— трапеция с основаниями AB = 2CD.
а) Докажите, что плоскость 
проходит через середину бокового ребра 
б) Найдите угол между боковым ребром 
и этой плоскостью, если призма прямая, трапеция ABCD прямоугольная с прямым углом при вершине B, а BC = CD и 
Решение. а) Пусть плоскость
пересекает ребро 
в точке K. Параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым, поэтому параллельные грани 
и 
сечение пересекает по параллельным прямым 
и 
Следовательно, углы 
и
равны и треугольники 
и 
подобны и коэффициент подобия 
то есть 
и K — середина
б) Пусть L — точка пересечения 
и СD, тогда BL — прямая пересечения плоскостей ABCD и 
Опустим из K и С перпендикуляры KH и CH на BL. Они попадут в одну точку по теореме о трех перпендикулярах. BL параллельно 
и параллельно 
Следовательно, ABLD — параллелограмм. Тогда CL = CD = BC и треугольник BCL — прямоугольный и равнобедренный и его высота равна 
при этом 
Следовательно, 
Тогда 
и равен углу между плоскостью и плоскостью основания. перпендикулярно ABCD, следовательно, угол между и равен 
Ответ: б) 30°.
Приведём решение п. б) Ирины Шраго.
Решим задание координатно-векторным методом. Начало координат в точке C, ось Ox вдоль луча CB, ось Oy вдоль луча CL, ось Oz вдоль луча CC1. Уравнение плоскости 
в отрезках
где 
и
Таким образом, вектор нормали 
а вектор 
поскольку он сонаправлен с осью Оz. Синус искомого угла равен модулю косинуса угла между этими векторами,
Следовательно, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Точка M середина ребра AB правильного тетраэдра DABC.
а) Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ACD лежит на медиане AP грани ACD.
б) Найдите угол между прямой DM и плоскостью ACD.
Решение. а) Рассмотрим проекцию B' вершины тетраэдра B на плоскость ACD. Тетраэдр правильный, поэтому точка B' является центром грани ACD и лежит на медиане AP. Следовательно, проекция ребра AB будет отрезок AB' — часть медианы AP. Точка M' — проекция точки M — является серединой отрезка AB' и делит медиану AP в отношении
б) Проекцией DM на грань ACD является DM', поэтому искомый угол равен углу MDM'. Найдем его из треугольника MDM'. Обозначим ребро тетраэдра 2a. Тогда
Найдем высоту тетраэдра:
Точка M — середина AB, поэтому MM' равна 
Найдем синус угла MDM':
следовательно, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В основании пирамиды SABCD лежит ромб АВСD, сторона которого равна 8, а угол при вершине A равен 60°. Известно, что SA = 15, 
и, кроме того, SB = SD.
а) Докажите, что SC — высота пирамиды.
б) Найдите угол между плоскостью ASC и ребром SB.
Решение. а) Заметим, что так как угол ромба при вершине A равен 60°, ромб составлен из двух равносторонних треугольников ABD и BCD. Тогда диагональ AC равна удвоенной высоте этих треугольников, то есть
Заметим, что
следовательно, треугольник SAC прямоугольный, а прямые SC и AC взаимно перпендикулярны.
Пусть O — центр ромба, тогда прямая SO перпендикулярна прямой BD как высота равнобедренного треугольника SBD. Кроме того, прямые AC и BD взаимно перпендикулярны как диагонали ромба. Следовательно, прямая BD перпендикулярна грани SAC. Поэтому прямые SC и BD взаимно перпендикулярны, а значит, прямая SC перпендикулярна основанию ABCD.
б) В п. а) доказано, что прямая BD перпендикулярна грани SAC, следовательно, проекцией прямой SB на плоскость SAC является прямая SO и искомый угол равен углу BSO. Заметим, что:
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
На ребрах BS и CS правильной четырехугольной пирамиды SABCD cо стороной основания AD = 10 и боковым ребром 
взяты точки K и M соответственно так, что 
а) Докажите, что прямые KM и SC взаимно перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью основания пирамиды.
Решение. а) Пусть L — точка пересечения прямых KL и BC. Проведём прямую MN параллельно прямой BC. Заметим, что треугольники SNM и SBC подобны с коэффициентом подобия
следовательно,
Треугольники MNK и LBK также подобны с 
значит,
следовательно, треугольник CLM — прямоугольный с прямым углом CML.
б) Пусть SO — высота пирамиды, H — проекция точки M на прямую AC, а LH — проекция отрезка LM на плоскость основания. Тогда угол MLH — искомый. Далее имеем:
Из п. а) треугольник CLM — прямоугольный, следовательно,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Точка O — точка пересечения диагоналей грани CDD1C1 куба ABCDA1B1C1D1. Плоскость DA1C1 пересекает диагональ BD1 в точке F.
а) Докажите, что 
б) Точки M и N — середины ребер AB и AA1, соответственно. Найдите угол между прямой MN и плоскостью DA1C1.
Решение. a) Плоскость DA1C1 пересекает плоскость BCD1 по прямой A1O, значит, точка F — это точка пересечения отрезков BD1 и A1O. Прямые BA1 и CD1 параллельны, значит, треугольники D1FO и BFA1 подобны с коэффициентом подобия
Получаем, что
б) Прямая CD1 является проекцией прямой BD1 на плоскость CDD1, a прямые CD1 и DC1 перпендикулярны, значит, по теореме о трёх перпендикулярах прямая BD1 перпендикулярна прямой DC1. Аналогично получаем, что прямая BD1 перпендикулярна прямой A1C1. Значит, прямая BD1 перпендикулярна плоскости DA1C1.
Отрезок MN — средняя линия треугольника ABA1, значит, он параллелен отрезку BA1. Угол между прямой MN и плоскостью DA1C1 равен углу между прямой BA1 и плоскостью DA1C1. Точка F — проекция точки B на плоскость DA1C1, следовательно, искомый угол равен углу BA1F. B прямоугольном треугольнике BA1D1 тангенс угла A1BD1 равен
В прямоугольном треугольнике BA1F угол BA1F равен
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1, сторона основания которой равна 2, а боковое ребро равно 4. Через точку A проведена плоскость α, перпендикулярная прямой DC1.
а) Докажите, что плоскость α делит ребро DD1 в отношении 1 : 3, считая от точки D.
б) Найдите угол между прямой F1D и плоскостью α.
Решение. а) Выберем на ребре призмы DD1 точку D2 такую, чтобы отрезки CD2 и C1D были перпендикулярны. Тогда плоскость ACD2 перпендикулярна отрезку C1D, поскольку отрезки AC и CD перпендикулярны. Значит, по теореме о трех перпендикулярах отрезок C1D перпендикулярен отрезку AC. Наконец, перпендикулярны отрезки CD2 и C1D и отрезки AC и C1D, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости плоскость ACD2 перпендикулярна отрезку C1D. Через данную точку проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой, следовательно, плоскость α совпадает с плоскостью ACD2. Заметим, что
то есть подобны треугольники C1CD и CDD2, откуда следует
Таким образом, D1D2 = 3 и DD2 : D1D2 = 1 : 3.
б) Пусть прямая F1D пересекает плоскость α в точке P, а прямая C1D — в точке H. Тогда отрезок PH — проекция прямой F1D на плоскость α. Обозначим искомый угол φ. Тогда 
Из треугольника FED по теореме косинусов:
По теореме Пифагора из треугольников DFF1 и DCC1 соответственно получаем:
Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника F1DC1:
Значит, 
то есть 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Точка O — центр грани A1B1C1D1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1. Сечения параллелепипеда плоскостями AOB и BOC являются прямоугольниками, стороны AB и BC этих сечений в 3 раза меньше соответственных больших сторон сечений.
а) Докажите, что ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между прямой A1C и плоскостью BOC.
Решение. а) Плоскость BOC пересекает грань A1B1C1D1 по прямой, параллельной прямой BC. Следовательно, эта плоскость проходит через середины ребер A1B1 и C1D1 — точки K и M соответственно. Аналогично плоскость AOB проходит через середины ребер B1C1 и A1D1 — точки L и N. Пусть
и 
тогда 
и 
и 
Из равных по двум катетам прямоугольных треугольников BB1K и BB1L по теореме Пифагора получаем:
откуда
Это и означает требуемое.
б) Пусть прямые AA1 и BK пересекаются в точке P. Проведем в треугольнике A1KP высоту A1H. Проекция прямой A1H на плоскость A1B1C1 есть прямая AB, а тогда по теореме о трех перпендикулярах прямые A1H и KM перпендикулярны. Прямые A1H и BK перпендикулярны по построению. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая A1H перпендикулярна плоскости BCO, и угол A1CH — искомый.
Треугольники A1PK и B1BK равны по катету и острому углу. Из пункта а) следует, что 
В прямоугольном треугольнике длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна произведению длин катетов, деленному на длину гипотенузы:
Квадрат длины диагонали прямоугольного прямоугольника равен сумме квадратов длин трех его измерений, откуда
Из прямоугольного треугольника A1CH находим:
то есть 
Ответ: 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Пусть точки M, L, P, Q — середины ребер A1B1, D1C1, B1C1 и A1D1 соответственно. Прямая ML параллельна прямой CB, а прямая PQ — прямой AB. Пусть 
По теореме Пифагора из треугольников BMB1 и PBB1 получаем:
то есть 
поэтому четырехугольник ABCD — квадрат по определению.
б) Пусть 
Из пункта а) известно, что 
Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. Тогда в выбранной системе отсчета верны следующие координаты:
Уравнение плоскости BOC имеет вид 
поскольку она проходит через начало координат. Подставляя координаты точек С и O, находим:
Полагая 
находим нормаль к плоскости BOC: 
Пусть угол φ — искомый, тогда
и потому 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны углы: 
а) Докажите, что 
б) Найдите угол между прямой AC1 и плоскостью A1B1C1, если β = 60°, γ = 45°.
Решение. а) Из прямоугольных треугольников AA1C1, ABC1, ADC1 соответственно находим:
Квадрат длина диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его измерений, поэтому:
б) Из доказанного в пункте а) находим:
Из прямоугольного треугольника AC1A1 получаем 
Отрезок A1C1 есть проекция диагонали AC1 на плоскость A1B1C1, следовательно, угол AC1A1 — искомый.
Ответ: б) 30°.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC. Точка K — середина ребра A1B1, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC = 1 : 3.
а) Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1, если AB = 9, AC = 12 и AA1 = 3.
Решение. а) Пусть точка N — середина ребра AB, точка L — середина ребра AC. По теореме Фалеса прямая MN параллельна прямой BL, поэтому прямая NM перпендикулярна прямой AC, плоскость KNM перпендикулярна прямой AC, прямая KM перпендикулярна прямой AC.
б) Проведем MH — высоту треугольника AMB. Из 
и 
следует, что 
а значит, угол HKM — искомый, причем 
Пусть отрезок CE — высота треугольника ABC, тогда 
откуда
Из прямоугольных треугольников ABL и KMN соответственно находим:
Таким образом, получаем:
Ответ: 
Приведем решение при помощи векторов и координат.
а) Пусть 
Точка M делит ребро AC в отношении 
тогда
Из условия 
имеем: 
и поскольку в прямой призме вектор 
перпендикулярен векторам 
и 
получаем:
Следовательно, прямые KM и AC перпендикулярны.
б) Пусть α — угол между прямой KM и плоскостью ABB1, 
— нормаль к плоскости ABB1, тогда 
Пусть точка A — начало координат, ребро AC лежит на положительной полуоси Ox, точка B имеет положительную ординату. В этой системе координат:
Плоскость ABB1 содержит векторы 
и 
причем
Возьмем в качестве нормали к плоскости вектор 
отметим, что 
Тогда:
откуда 
Замечание..
В последнем решении можно было бы обойтись только векторами, не вводя систему координат. Покажем, как это сделать.
Нормаль к плоскости есть 
причем в силу перпендикулярности векторов и имеем:
Далее,
причем в силу параллельности вектора 
вектору имеем:
По теореме косинусов для треугольника ABC получаем:
откуда
Следовательно, 
Найдем квадрат длины вектора 
где
Учитывая, что 
получаем:
Таким образом,
следовательно, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
| № п/п | № задания | Ответ |
| 1 | 507576 | |
| 2 | 510556 | б) |
| 3 | 510597 | б) |
| 4 | 513098 | 30°. |
| 5 | 507611 | |
| 6 | 484559 | |
| 7 | 485934 | |
| 8 | 500024 | |
| 9 | 504544 | |
| 10 | 501125 | |
| 11 | 484564 | |
| 12 | 484568 | |
| 13 | 518114 | б) 30°. |
| 14 | 523995 | б) 30°. |
| 15 | 525393 | б) |
| 16 | 526591 | б) |
| 17 | 526675 | б) |
| 18 | 527178 | |
| 19 | 529731 | б) |
| 20 | 546443 | б) 30°. |
| 21 | 553830 | б) |
| 22 | 559270 | |
| 23 | 624023 | б) |
| 24 | 630195 | б) |
| 25 | 676857 | |
| 26 | 681755 | |
| 27 | 691278 | б) 30°. |
| 28 | 699395 | |