В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит равнобедренный треугольник ABC с равными сторонами AB и BC. Точка K — середина ребра A1B1, а точка M делит ребро AC в отношении AM : MC = 1 : 3.
а) Докажите, что прямая KM перпендикулярна прямой AC.
б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB1, если AB = 9, AC = 12 и AA1 = 3.
а) Пусть точка N — середина ребра AB, точка L — середина ребра AC. По теореме Фалеса прямая MN параллельна прямой BL, поэтому прямая NM перпендикулярна прямой AC, плоскость KNM перпендикулярна прямой AC, прямая KM перпендикулярна прямой AC.
б) Проведем MH — высоту треугольника AMB. Из 
и 
следует, что 
а значит, угол HKM — искомый, причем 
Пусть отрезок CE — высота треугольника ABC, тогда 
откуда
Из прямоугольных треугольников ABL и KMN соответственно находим:
Таким образом, получаем:
Ответ: 
Приведем решение при помощи векторов и координат.
а) Пусть 
Точка M делит ребро AC в отношении 
тогда
Из условия 
имеем: 
и поскольку в прямой призме вектор 
перпендикулярен векторам 
и 
получаем:
Следовательно, прямые KM и AC перпендикулярны.
б) Пусть α — угол между прямой KM и плоскостью ABB1, 
— нормаль к плоскости ABB1, тогда 
Пусть точка A — начало координат, ребро AC лежит на положительной полуоси Ox, точка B имеет положительную ординату. В этой системе координат:
Плоскость ABB1 содержит векторы 
и 
причем
Возьмем в качестве нормали к плоскости вектор 
отметим, что 
Тогда:
откуда 
Замечание..
В последнем решении можно было бы обойтись только векторами, не вводя систему координат. Покажем, как это сделать.
Нормаль к плоскости есть 
причем в силу перпендикулярности векторов и имеем:
Далее,
причем в силу параллельности вектора 
вектору имеем:
По теореме косинусов для треугольника ABC получаем:
откуда
Следовательно, 
Найдем квадрат длины вектора 
где
Учитывая, что 
получаем:
Таким образом,
следовательно, 