Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
Решение. Пусть 
тогда
Рассмотрим два случая.
Случай 1: уравнение (⁎) имеет единственное решение. Это уравнение не изменяется при замене х на −x, а потому если число 
является решением этого уравнения, то и число 
также является его решением. Чтобы уравнение имело единственное решение, оно должно иметь корень 
и не должно иметь других корней. Полагая 
находим:
Осталось проверить, имеет ли уравнение другие корни, при найденных значениях b. При 
уравнение принимает вид 
и имеет три различных решения: 
поэтому не подходит. Если 
то
Раскроем модули: на отрезке [0; 2] уравнение принимает вид 
и имеет единственное решение 
При 
получаем: 
Из неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим заключаем, что
Таким образом, при 
уравнение не имеет положительных корней, а потому, в силу четности левой и правой частей уравнения, не имеет и отрицательных корней, то есть имеет единственный корень
Случай 2: уравнение (⁎) не имеет решений. Поскольку значения 
и уже разобраны, осталось рассмотреть значения 
и 
Обозначим 
Рассмотрим случай 
Если 
то
то есть уравнение решений не имеет. Если 
то
в этом случае тоже нет решений.
Рассмотрим случай 
В этом случае верны неравенства
и
поскольку 
и 
Значит, уравнение 
имеет решения отличные от нуля, то есть решений больше одного.
Таким образом, уравнение (⁎) имеет единственное решение или не имеет решений при 
и 
то есть при 
и 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получено множество значений а, отличающееся от искомого конечным числом точек | 3 |
| С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений а | 2 |
| Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений а | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
то есть 
Подставим значение 
либо 
или 
уравнение принимает вид 
Корнями этого уравнения являются числа 
и 
то есть уравнение имеет ровно три корня. 
и при 
уравнение принимает вид 
это уравнение сводится к уравнению 
которое не имеет корней.
получаем уравнение 
которое имеет единственный корень.
получаем уравнение 
которое не имеет корней. 
и 
тоже подходит. Поэтому решение может быть единственным только в том случае, если это решение 
не соответствует условию. 
имеем: 
При этом 
Знаменатель положителен при a > 0, поэтому можно на него домножить обе части неравенства, не меняя его знака. Имеем:
Число 0 является решением неравенства (*) при 
Причем при 
неравенство не имеет других решений, отличных от нуля. Действительно, для 
имеем: 
Тогда неравенство (*) можно записать в виде:
Отсюда a = 4.
имеем 
Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него.
Решим это неравенство. Поскольку знаменатель положителен, умножим на него.
При этом 
имеет четыре решения?
перепишем исходную систему в виде
отрицательна, то исходная система не имеет решений. Значению 
соответствует 
соответствует 
а каждой паре положительных значений 
соответствует по два значения исходных переменных 
соответственно, то есть каждому такому решению соответствуют четыре решения исходной системы. 
является решением системы, то и пара 
— также решение этой системы, то есть исходная система получает восемь решений если 
Таким образом, исходная система имеет четыре решения 
тогда и только тогда, когда полученная система имеет следующие решения: 
или 
где 
и 
то из первого уравнения 
из второго уравнения 
При найденном значении параметра система принимает вид
Из первого уравнения 
подставим во второе:
Это доказывает, что других решений система не имеет.
а 
то 
При этом значении параметра система принимает вид 
Из первого уравнения снова 
и 
Первый из них соответствует рассматриваемому случаю и двум решениям исходной системы, а второй оставшемуся случаю 
а 
то 
при каждом из которых уравнение 
либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.
при 
при 
покажем, что в этом случае уравнение 
то 
причём равенство достигается только при 
и 
верны неравенства 
и 
и 
и 
— чётные. Значит, если уравнение 
имеет единственное решение, то это решение 
относительно 
значит, 
является решением уравнения 
или 
уже был разобран.
имеет единственное решение или не имеет решений при 
и 
— решение системы, то пара 
— также решение этой системы. Поскольку система имеет единственное решение, то этим решением может быть только пара 
Таким образом, 
то второе уравнение системы имеет единственное решение:
а значит, пара (0; 1) является единственным решением системы.
то второе уравнение системы имеет три решения:
а потому система имеет три решения.
при 
имеет единственное решение?
— решение системы при некотором значении параметра а, то при этом значении параметра решением системы будет и 
Отсюда следует, что условие 
Пусть 
Тогда система примет вид
и 
и, таким образом, 
Учитывая теперь, что 
приходим к неравенству
следовательно, 
т. е. при 
Итак, при 
система имеет единственное решение.
При таком значении параметра а система перепишется в виде
и, таким образом, при 
условию единственности решения не удовлетворяет. Заметим, что решения здесь просто угаданы. 
то есть x0 = 0. Подставим значение x = 0 в исходное уравнение:
либо 
или a = 5.
которое не имеет корней. При a = 1 и при a = 5 исходное уравнение имеет единственный корень.
то есть 
либо 
или 
уравнение принимает вид 
и при 
уравнение принимает вид 
тогда единственное решение должно иметь уравнение
получаем:
имеем:
а тогда 
и уравнение принимает вид 
Оно, действительно, имеет единственное решение 
удовлетворяющее условию 
соответствует 
Следовательно, условию задачи удовлетворяют 
Поскольку решения должны совпадать, находим: 
при каждом из которых система уравнений
получим систему
Пусть (x; x), где 
— решение системы. Тогда
система имеет единственное решение.
Получим 
или 
и 
исходное уравнение принимает вид 
При 
правая часть уравнения 
При 
правая часть уравнения равна 4, а левая часть уравнения не меньше 4, причём равенство достигается только при 
Значит, исходное уравнение имеет единственное решение 
исходное уравнение принимает вид 
Числа −2, 0 и 2 являются корнями этого уравнения.
система имеет также решения 
Поскольку решений должно быть два, полученные пары должны совпадать.
то 
Тогда 
откуда
система 
имеет два решения. При 
Эта система имеет только одно решение.
то 
Тогда 
то 
Тогда: 
откуда 
система 
имеет два решения.
то 
— см. случай 3.
то 
— см. случай 2.
то 
— см. случай 1.
и, значит, система имеет единственное решение. 
В этом случае, первое уравнение описывает окружность с центром в (0; 0) и радиусом |a|. При a = 3 второе уравнение снова описывает оси координат 
второе уравнение может быть преобразовано в уравнение 
поскольку в этом случае ни x, ни y в ноль не обращаются. Это уравнение гиперболы. 
тогда, в случае касания, уравнение 
должно иметь единственный положительный корень. Заметим, что если оно имеет корни, то это либо два корня одного знака, либо один корень. Значит, нас интересует случай, когда его дискриминант равен нулю и единственный корень при этом положительный. 
то уравнение квадратное, значит, его дискриминант должен равняться нулю:
получаем 
откуда 
Решением системы является пара 
получается линейное уравнение 
которое имеет единственное решение 
Решением системы является пара 
Вычтем второе уравнение системы из первого и разделим полученное уравнение почленно на 
получаем уравнение 
У этого уравнения решений нет.
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
тогда 
Осталось проверить, не имеет ли система других решений кроме (3; 0) для 
то имеем:
уравнение (*) принимает вид 
и имеет корень 
Следовательно, при 
Получим
является корнем уравнения (⁎), то и число 
тоже является корнем этого уравнения. Тогда уравнение будем иметь единственный корень, только если 
то есть при 
или 
Найдём при каких значениях параметра a эти числа являются корнями уравнения (⁎).
имеем:
где 
тогда 
и уравнение принимает вид
в уравнение (⁎⁎), получим:
что при любом a эквивалентно равенству 0 = 0, то есть является верным равенством для любого значения параметра.
исходное равенство принимает вид
является решением системы, то пара чисел 
тоже является решением системы. Значит, чтобы система имела ровно три решения одним из решений должна быть пара чисел 
Подставив 
во второе уравнение системы, получаем, что решением должна являться или пара чисел 
или пара чисел 
Из первого уравнения системы найдём значения параметра, при которых эти пары чисел являются решениями системы. Если 
то 
если же 
то 
Таким образом, только при этих значениях параметра у системы может быть нечётное число решений. Выясним, сколько решений имеет система при найденных значениях параметра.
в первое уравнение системы:
и 
в первое уравнение системы:
то второе уравнение системы не имеет решений. Следовательно, при 
является решением, то и число 
также является решением.
то уравнение имеет вид
а 
а 
знаменатель левой части отрицателен, тогда необходимо выполнение неравенства
то левая часть полученного уравнения больше 3, а правая — не больше 3, поэтому оно не имеет решений. Значит, при 
тогда каждому значению переменной x соответствует ровно одно значение переменной t, а исходное уравнение и уравнение
и 
Изобразим их на чертеже.
полученная совокупность, а значит, и исходное уравнение решений не имеют, при 
— имеют два решения, при 
и 
тоже является решением системы. Значит, чтобы решение было единственным, необходимо, чтобы 
С учётом второго уравнения системы получаем, что единственным решением может являться либо пара чисел 
либо пара чисел 
Проверим есть ли другие решения при этом значении параметра. Подставляя найденное значение параметра, находим:
и 
тогда левая часть первого уравнения системы неотрицательна, а правая неположительна, причём равенство достигается только при 
система имеет единственное решение.
является решением системы при 
Подставляя найденное значение параметра, находим:
система имеет более одного решения.
является решением системы, то тройка чисел 
тоже является решением системы. Значит, чтобы решение было единственным, должно выполняться равенство 
является решением системы, то тройка чисел 
тоже является решением системы. Значит, чтобы решение было единственным, должно выполняться равенство 
Таким образом, единственным решением системы может быть только тройка чисел 
Эта тройка чисел является решением системы при 
графиком уравнения (⁎) в системе координат xOy является окружность с центром в точке 
и радиусом 
а графиком уравнения (⁎⁎) — прямая 
которая касается этой окружности в точке 
а радиус окружности меньше 
можно доказать иначе. Пусть имеется точка с координатами 
Если она лежит на сфере, ее координаты должны удовлетворять условию
то есть 
Тогда 
однако из уравнения 
следует, что 
Значит, 
и тогда из третьего уравнения следует, что 
Подставляя 
и 
откуда 
то есть при 
Из формулы 
находим: 
корень уравнения, то и 
— тоже корень. Чтобы уравнение имело единственный корень, оно должно иметь решением 
и равенство достигается при 
тоже является корнем уравнения. Значит, если уравнение имеет единственное решение, то этим решением является 
Для этого решим уравнение:
исходное уравнение имеет одно решение.
условие будет выполнено, значит, чтобы решение было единственным, необходимо, чтобы выполнялось условие 
удовлетворяет неравенству 
другие решения системы. Решим систему при 
рассмотрим квадратичную функцию 
Заметим, что 
имеет два корня, то они по модулю либо оба больше 1, либо оба меньше 1. Значит, условие задачи не может быть выполнено. Если уравнение 
единственным корнем уравнения (⁎) является
не выполняется.
единственным корнем уравнения (⁎) является
Решим систему при 
то левая часть второго уравнения полученной системы положительна, значит, второе уравнение и вся система не имеют решений. Тогда при 
и условие задачи выполнено.
получаем:
уравнение не имеет других корней:
в исходном уравнении не определено выражение 
значит, это значение b не подходит. При 
является решением системы, то и тройка чисел 
является ее решением. Чтобы система имела единственное решение, должно быть выполнено равенство 
Положим, 
получим:
является ее решением. Чтобы система имела единственное решение, должно быть выполнено равенство 
Положим, 
получим:
то есть 
Логарифм в третьем уравнении определен только для положительных значений аргумента, поэтому 
а значит, 
откуда 
Тогда 
и второе уравнение принимает вид 
Подставляя найденные величины в третье уравнение, получаем верное равенство 
Таким образом, единственным возможным значением параметра является 
находим:
