СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 501713

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень.

Решение.

Если x0 является корнем исходного уравнения, то и −x0 является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если x0 = −x0, то есть x0 = 0. Подставим значение x = 0 в исходное уравнение:

откуда либо |a − 3| = 0 ⇔ a = 3, либо |a − 3| = 2 ⇔ a = 1, или a = 5.

При a = 3 исходное уравнение принимает вид: x2 = 2|x|. Корнями этого уравнения являются числа −2; 0 и 2, то есть исходное уравнение имеет более одного корня.

При a = 1 и при a = 5 уравнение принимает вид: x2 + 4 = |x − 2| + |x + 2|.

При x < − 2 это уравнение сводится к уравнению x2 + 2x + 4 = 0, которое не имеет корней.

При −2 ≤ x ≤ 2 получаем уравнение x2 = 0, которое имеет единственный корень.

При x > 2 получаем уравнение x2 − 2x + 4 = 0, которое не имеет корней. При a = 1 и при a = 5 исходное уравнение имеет единственный корень.

 

Ответ: 1; 5.


Аналоги к заданию № 501713: 502297 510665 501755 502317 507476 510737 Все

Источник: ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке 03.06.2013. Ос­нов­ная волна. Сибирь. Ва­ри­ант 302.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Симметрия в решениях, Симметрия в решениях