ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 18 № 519663 Добавить в вариант

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

$система выражений x в квадрате плюс y в квадрате = a в квадрате ,xy = a в квадрате минус 3a конец системы .$

имеет ровно два различных решения?

Спрятать решение

Решение.

Заметим, что вместе с каждым решением $левая круглая скобка x;y правая круглая скобка$ система имеет также решения $левая круглая скобка y;x правая круглая скобка ; левая круглая скобка минус x; минус y правая круглая скобка ; левая круглая скобка минус y; минус x правая круглая скобка .$ Поскольку решений должно быть два, полученные пары должны совпадать.

1.  Если $левая круглая скобка x;y правая круглая скобка = левая круглая скобка y;x правая круглая скобка ,$ то $x=y.$ Тогда $2x в квадрате =a в квадрате ,x в квадрате =a в квадрате минус 3a,$ откуда

$2a в квадрате минус 6a=a в квадрате равносильно a в квадрате минус 6a=0 равносильно совокупность выражений a=0,a=6. конец совокупности .$

Проверка показывает, что при $a=6$ система $x в квадрате плюс y в квадрате =36,xy=18$ имеет два решения. При $a=0,$ получаем $x в квадрате плюс y в квадрате =0,xy=0.$ Эта система имеет только одно решение.

2.  Если $левая круглая скобка x;y правая круглая скобка = левая круглая скобка минус x; минус y правая круглая скобка ,$ то $x=y=0.$ Тогда $a=0,$ этот случай исследован выше.

3.  Если $левая круглая скобка x;y правая круглая скобка = левая круглая скобка минус y; минус x правая круглая скобка ,$ то $x= минус y:$ Тогда: $2x в квадрате =a в квадрате , минус x в квадрате =a в квадрате минус 3a,$ откуда

$3a в квадрате минус 6a=0 равносильно совокупность выражений a=0,a=2. конец совокупности .$

Проверка показывает, что при $a=2$ система $x в квадрате плюс y в квадрате =4,xy= минус 2,$ имеет два решения.

4.  Если $левая круглая скобка y;x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус x; минус y правая круглая скобка ,$ то $x= минус y$   — см. случай 3.

5.  Если $левая круглая скобка y;x правая круглая скобка = левая круглая скобка минус y; минус x правая круглая скобка ,$ то $x=y=0$   — см. случай 2.

6.  Если $левая круглая скобка минус x; минус y правая круглая скобка = левая круглая скобка минус y; минус x правая круглая скобка ,$ то $x=y$   — см. случай 1.

Приведем другое решение.

При a  =  0 первое уравнение описывает точку (0; 0), а второе оси координат $x=0,y=0$ и, значит, система имеет единственное решение.

Дальше будем считать, что $a\not=0.$ В этом случае, первое уравнение описывает окружность с центром в (0; 0) и радиусом |a|. При a  =  3 второе уравнение снова описывает оси координат $x=0,y=0$ и, значит, система имеет четыре решения. При $a\not=3$ второе уравнение может быть преобразовано в уравнение $y= дробь: числитель: a в квадрате минус 3a, знаменатель: x конец дроби ,$ поскольку в этом случае ни x, ни y в ноль не обращаются. Это уравнение гиперболы.

Заметим, теперь, что обе кривые описываемые уравнениями системы симметричны относительно начала координат, значит, два решения система будет иметь только в случае касания окружности и гиперболы. Рассмотрим уравнение, описывающее точки их пересечения

$x в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: a в квадрате минус 3a, знаменатель: x конец дроби правая круглая скобка в квадрате =a в квадрате равносильно x в степени 4 минус a в квадрате x в квадрате плюс a в квадрате левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате =0.$

Сделаем замену $t=x в квадрате ,$ тогда, в случае касания, уравнение $t в квадрате минус a в квадрате t плюс a в квадрате левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате =0$ должно иметь единственный положительный корень. Заметим, что если оно имеет корни, то это либо два корня одного знака, либо один корень. Значит, нас интересует случай, когда его дискриминант равен нулю и единственный корень при этом положительный.

$D=a в степени 4 минус 4a в квадрате левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате = минус 3a в степени 4 плюс 24a в кубе минус 36a в квадрате =0 равносильно a в квадрате левая круглая скобка a в квадрате минус 8a плюс 12 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений a=0,a=2,a=6. конец совокупности .$ $D=a в степени 4 минус 4a в квадрате левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате = минус 3a в степени 4 плюс 24a в кубе минус 36a в квадрате =0 равносильно$
$равносильно a в квадрате левая круглая скобка a в квадрате минус 8a плюс 12 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений a=0,a=2,a=6. конец совокупности .$

Проверка показывает, что при a  =  2 и a  =  6 уравнение имеет положительный корень, a  =  0 не подходит.

Ответ: $a=2,a=6.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: ЕГЭ по математике 11.04.2018. Досрочная волна, резервный день. Запад (часть 2)

Классификатор алгебры: Системы с параметром

Методы алгебры: Использование косвенных методов, Использование симметрий, оценок, монотонности, Перебор случаев

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь