СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 519663

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

 

 

имеет ровно два различных решения?

Решение.

Заметим, что вместе с каждым решением система имеет также решения Поскольку решений должно быть два, полученные пары должны совпадать.

1. Если то Тогда откуда

Проверка показывает, что при система имеет два решения. При получаем Эта система имеет только одно решение.

2. Если то Тогда этот случай исследован выше.

3. Если то Тогда: откуда

 

Проверка показывает, что при система имеет два решения.

4. Если то — см. случай 3.

5. Если то — см. случай 2.

6. Если то — см. случай 1.

 

Приведем другое решение:

 

При a = 0 первое уравнение описывает точку (0; 0), а второе оси координат и, значит, система имеет единственное решение.

Дальше будем считать, что В этом случае, первое уравнение описывает окружность с центром в (0; 0) и радиусом |a|. При a = 3, второе уравнение снова описывает оси координат и, значит, система имеет четыре решения. При второе уравнение может быть преобразовано в уравнение так как в этом случае, ни x, ни y в ноль не обращаются. Это уравнение гиперболы.

Заметим, теперь, что обе кривые описываемые уравнениями системы симметричны относительно начала координат, значит, два решения система будет иметь только в случае касания окружности и гиперболы. Рассмотрим уравнение описывающее точки их пересечения

Сделаем замену тогда, в случае касания, уравнение должно иметь единственный положительный корень. Заметим, что если оно имеет корни, то это, либо два корня одного знака, либо один корень. Значит, нас интересует случай, когда его дискриминант равен нулю и единственный корень при этом положительный.

Проверка показывает, что при a = 2 и a = 6 уравнение имеет положительный корень, a = 0 не подходит.

 

Ответ:

Источник: ЕГЭ — 2018. До­сроч­ная волна. Резервный день 11.04.2018. Запад (часть С).
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Симметрия в решениях, Симметрия в решениях