Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 18 № 500431

Найдите все значения a , при каждом из которых уравнение x в степени 4 плюс (a минус 4) в степени 2 = |x минус a плюс 4| плюс |x плюс a минус 4| либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Решение.

Введём обозначения: a минус 4=b,f(x)=x в степени 4 плюс b в степени 2 ,g(x)=|x минус b| плюс |x плюс b|. В этих обозначениях исходное уравнение принимает вид f(x)=g(x).

Заметим, что g(x)=2|x| при |x| больше или равно |b|,g(x)=2|b| при |x| меньше |b|.

Пусть |b| больше или равно 2 покажем, что в этом случае уравнение f(x)=g(x) либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Действительно, если |x| больше или равно |b| больше или равно 2, то f(x)=x в степени 4 плюс b в степени 2 больше или равно x в степени 4 больше или равно |x| умножить на x в степени 2 умножить на |x| больше или равно 2x в степени 2 умножить на |b| больше 2|x|=g (x).

Если |x| меньше |b|, то f(x)=x в степени 4 плюс b в степени 2 больше или равно b в степени 2 больше или равно 2|b|=g(x), причём равенство достигается только при |b|=2 и x=0.

При |b| меньше 2 верны неравенства f(0) меньше или равно g(0) и f(2) больше g(2), так как b в степени 2 меньше или равно 2|b| и 16 плюс b в степени 2 больше 4. Значит, уравнение f(x)=g(x) имеет решение.

Если некоторое число x_0 является решением этого уравнения, то и число  минус x_0 также является его решением, поскольку функции f(x) и g(x) — чётные. Значит, если уравнение f (x)=g(x) имеет единственное решение, то это решение x=0.

Решим уравнение f(0)=g(0) относительно b: b в степени 2 =2|b| равносильно |b| умножить на (|b| минус 2)=0, значит, x = 0 является решением уравнения f (x)=g(x) при b = 0 или |b| = 2.

Случай, когда |b| = 2, уже был разобран.

При b=0 уравнение принимает вид x в степени 4 =2|x| и имеет три различных решения:x = минус корень из [ 3]{2},x=0, x = корень из [ 3]{2}.

Таким образом, уравнение f(x)= g(x) имеет единственное решение или не имеет решений при b меньше или равно минус 2 и b больше или равно 2, то есть при a меньше или равно 2 и a больше или равно 6.

Ответ: a принадлежит ( минус принадлежит fty,2]\cup[6, плюс принадлежит fty).


Аналоги к заданию № 500411: 500431 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Уравнение с модулем, Уравнения высших степеней
Методы алгебры: Введение замены, Использование косвенных методов