Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 17 № 562078

Найдите все значения параметра a при каждом из которых уравнение

9 в степени левая круглая скобка минус x плюс 1 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка плюс a в кубе плюс 5a в квадрате плюс a плюс корень из 2= синус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 4 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 4 конец дроби плюс 3

имеет единственное решение.

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем исходное выражение:

9 в степени левая круглая скобка минус x плюс 1 правая круглая скобка умножить на 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка плюс a в кубе плюс 5a в квадрате плюс a плюс корень из 2 = синус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 4 конец дроби плюс косинус дробь: числитель: Пи x, знаменатель: 4 конец дроби плюс 3 равносильно
 равносильно 3 в степени левая круглая скобка x в квадрате минус 2x плюс 2 правая круглая скобка плюс a в кубе плюс 5a в квадрате плюс a плюс корень из 2= корень из 2 синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка плюс 3 равносильно
 равносильно 3 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 правая круглая скобка плюс корень из 2 плюс a в кубе плюс 5a в квадрате плюс a=3 плюс корень из 2 умножить на синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка .

Заметим. что если 1 плюс t корень уравнения, то и 1 минус t — тоже корень. Тогда, если уравнение имеет единственный корень, то это x=1. Следовательно,

a в кубе плюс 5a в квадрате плюс a=0 равносильно a левая круглая скобка a в квадрате плюс 5a плюс 1 правая круглая скобка =0 равносильно совокупность выражений a=0,a в квадрате плюс 5a плюс 1=0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений a=0,a= дробь: числитель: минус 5\pm\sqty21, знаменатель: 2 конец дроби . конец совокупности .

В тоже время это условие является и достаточным, так как 3 в степени левая круглая скобка левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 1 правая круглая скобка плюс корень из 2 больше или равно 3 плюс корень из 2 и равенство достигается при x=1, а

3 плюс корень из 2 умножить на синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка } меньше или равно 3 плюс корень из 2

и равенство достигается при x=1 плюс 8 k,  k принадлежит Z .

 

Ответ: a принадлежит левая фигурная скобка 0; дробь: числитель: минус 5 \pm корень из 21, знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 32.