Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет один корень на отрезке [0; 1].
Решение. Преобразуем уравнение:
В системе координат xOa графиками уравнений являются прямые 
и 
При неотрицательных значениях x неравенству 
удовлетворяют точки лежащие одновременно не ниже прямой 
и не выше прямой 
Решение полученной системы на отрезке [0; 1] выделено оранжевым цветом. Абсциссы точек A и B пересечения прямых найдём из уравнений:
Откуда 
Анализируя график, получаем, что исходное уравнение на отрезке [0; 1]:
— при 
не имеет корней;
— при 
имеет один корень;
— при 
имеет два корня;
— при 
имеет один корень;
— при 
не имеет корней.
Таким образом, исходное уравнение на отрезке [0; 1] имеет один корень при или при 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ | 4 |
| С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но допущен недочет | 3 |
| С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, ИЛИ в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | 2 |
| В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, ИЛИ в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
При неотрицательных значениях x неравенству 
и 
не имеет корней;
имеет один корень;
имеет два корня;
имеет один корень;
При неотрицательных значениях x неравенству 
не имеет корней;
имеет один корень;
имеет один корень;
Получаем 
при 
при условии 
Получаем:
условие принимает вид 
откуда 
То есть в этом случае 
и 
при 
и 
,
или с учетом принадлежности корней указанному отрезку: 
и 
и парабола 
Решение полученной совокупности на отрезке [0; 1] выделено оранжевым цветом. Ключевыми для ответа на вопрос задачи являются ординаты точек 
имеет два корня;
имеет один корень;
не имеет корней.
Решение полученной совокупности выделено оранжевым цветом. Ключевыми для ответа на вопрос задачи являются ординаты точек 
и 
имеет один корень;
не имеет корней.
Тогда корень 
принадлежит отрезку [4; 8] и удовлетворяет ОДЗ.
принадлежит отрезку [4; 8] и удовлетворяет ОДЗ. Тогда уравнение имеет единственное решение на заданном отрезке, если второй корень не принадлежит отрезку [4; 8] или не удовлетворяет ОДЗ. Имеем:
принадлежит отрезку [4; 8] и удовлетворяет ОДЗ. Тогда уравнение имеет единственное решение на заданном отрезке, если первый корень не принадлежит отрезку [4; 8] или не удовлетворяет ОДЗ. Имеем:
и 
лежащие внутри круга, ограниченного окружностью 
найдём, подставив в уравнение окружности 
имеет ровно один корень.
Если 
то корнями уравнения являются числа, для которых 
На отрезке 
а условие принимает вид 
Корни 
и 
совпадают при 
если 
и не принадлежит данному отрезку при прочих значениях параметра. Таким образом, исходное уравнение имеет ровно один корень на отрезке 
и 
имеет ровно четыре различных решения.
при этом 
Тогда исходное уравнение равносильно уравнению 
Исходное уравнение имеет ровно четыре различных решения, тогда и только тогда, когда полученное уравнение является квадратным и имеет два положительных корня. Тогда 
и 
то есть 
откуда 
при 
поскольку числитель дроби больше нуля. При условии 
корень 
положителен при 
то получаем уравнение 
то координаты любой точки прямой 
удовлетворяют уравнению.
то получаем уравнение 
параболы 
c концом в точке 
во втором — прямую l, задаваемую уравнением х = 3, в третьем — дугу 
параболы 
с концом в точке А (см. рис.). 
или совпадающую с ней. Прямая m проходит через точку А при a = −3.
и 
как квадратные относительно x и найдем, при каких значениях параметра их дискриминанты обращаются в нуль. Тем самым, при 
и 
прямые m касаются дуг 
имеет две общие точки с дугой 
имеет одну общую точку с дугой 
и 
имеет две общие точки с дугой 
или 
; возможно, с включением граничных точек
построим графики 
и 
Первый график — парабола 
и второй — прямая 
разбивают полуплоскость на 4 части, в двух из которых (выделены зелёным) неравенство выполняется. 
является пучок прямых 
проходящих через точку с координатами 
имеет только одну общую точку с выделенными зелёным частями плоскости. Это достигается в двух случаях. 
(выделено оранжевым). Тогда 
должно иметь единственное решение. Запишем его в виде 
и найдем дискриминант:
или 
При 
абсцисса точки касания положительна, что не соответствует условию задачи. При 
не имеет решений;
имеет бесконечное число решений;
имеет одно решение;
имеет бесконечное число решений.
его графиком являются две параболы, симметричные относительно оси абсцисс, с общими точками (0; 0) и (2; 0).
Решим соответствующее уравнение и найдём нуль дискриминанта:
он равен нулю при 
откуда 
он равен нулю при 
откуда 
то у прямой y = a – x нет общих точек с графиком 
а с графиком 
— две общие точки. 
то у прямой y = a – x одна общая точка 
с графиком 
значит, будет 3 общих точки.
то прямая y = a – x пересекает каждую параболу в двух точках, которые не могут совпасть полностью, так как это происходит в точках (0; 0) и (2; 0), поэтому будет минимум 3 решения.
то у прямой y = a – x одна общая точка 
с графиком 
то у прямой y = a – x нет общих точек с графиком 
— две общие точки. 
имело равно два различных решения.
дискриминант уравнения (2) равен 
его корни 
значит, 
Необходимо, чтобы 
x1 = x3, x2 = x4:
— не подходит.
значит, 
— не подходит.
— не подходит.
его графиком являются две параболы, симметричные относительно оси абсцисс, с общими точками (0; 0) и (4; 0).
является касательной к графику 
Решим соответствующее уравнение и найдём нуль дискриминанта:
он равен нулю при 
откуда 
он равен нулю при 
откуда 
то у прямой 
а с графиком 
— две общие точки. 
то у прямой 
с графиком 
значит, будет 3 общих точки.
то прямая 
то у прямой 
с графиком 
то у прямой 
— две общие точки. 
имело равно два различных решения.
дискриминант уравнения (2) равен 
его корни 
значит, 
Необходимо, чтобы 
значит, 
Необходимо, чтобы 
его графиком являются две параболы, симметричные относительно оси абсцисс, с общими точками (0; 0) и (−2; 0).
Решим соответствующее уравнение и найдём нуль дискриминанта:
он равен нулю при 
откуда 
он равен нулю при 
откуда 
то у прямой y = 2a – x нет общих точек с графиком 
а с графиком 
— две общие точки. 
то у прямой y = 2a – x одна общая точка 
с графиком 
значит, будет 3 общих точки.
то прямая y = 2a – x пересекает каждую параболу в двух точках, которые не могут совпасть полностью, так как это происходит в точках (0; 0) и (−2; 0), поэтому будет минимум 3 решения.
то у прямой y = 2a – x одна общая точка 
с графиком 
то у прямой y = 2a – x нет общих точек с графиком 
— две общие точки. 
имело равно два различных решения.
дискриминант уравнения (2) равен 
его корни 
значит, 
Необходимо, чтобы 
значит, 
получают сдвигом графика функции 
на 4 единицы вниз вдоль 
построенных на отрезке [−8; 0].
и 
парабола 
касается левой и правой ветвей графика функции 
то есть прямых 
соответственно. Найдем 
касательная имеет с параболой единственную общую точку, а потому при 
должен быть равен нулю дискриминант уравнения 
Дискриминант обращается в нуль при 
При этом абсцисса точки касания 
удовлетворяет условию 
Следовательно, 
Аналогично найдем 
дискриминант уравнения 
он обращается в нуль при 
При этом абсцисса точки касания 
удовлетворяет условию 
Следовательно, 
и 
лежат на отрезке [−8; 0]. Таким образом, графики уравнений системы расположены так, как показано на рисунке (песочным цветом изображен график первого уравнения, зеленым и красным изображены графики второго уравнения для случаев 
графики пересекаются ровно в трех точках. При 
и 
графики пересекаются в ровно в четырех точках. При 
и при 
одна из ветвей графика модуля не пересекается с графиком второго уравнения, а другая ветвь имеет с ним не больше двух точек пересечения, поэтому прочие значения параметра не удовлетворяют условию.
получают сдвигом графика функции 
и 
построенных на отрезке [0; 2].
касается левой и правой ветвей графика функции 
то есть прямых 
и 
соответственно. Найдем 
Дискриминант обращается в нуль при 
При этом абсцисса точки касания 
удовлетворяет условию 
Аналогично найдем 
он обращается в нуль при 
При этом абсцисса точки касания 
удовлетворяет условию 
изображены зеленым и красным цветом).
графики пересекаются ровно в трех точках. При 
и 
графики пересекаются в ровно в четырех точках. При 
и при 
одна из ветвей графика модуля не пересекается с графиком второго уравнения, а другая ветвь имеет с ним не больше двух точек пересечения, поэтому прочие значения параметра не удовлетворяют условию.
представляет собой график функции 
сдвинутый на 
единиц вдоль 
является касательной к параболе 
а прямая 
— касательной к параболе 
получаем 
что противоречит второму уравнению системы. При 
уравнение 
задает на координатной плоскости квадрат с вершинами на координатных осях и диагоналями, равными 2a. График второго уравнения получается из графика функции 
сдвигом на четыре единицы влево вдоль оси абсцисс.
система имеет ровно одно решение, а при 
— 
имеет единственное решение. Имеем:
имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение 
:
имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение 
:
получаем, что графики уравнений 
и 
касаются при 
При найденном значении а абсциссой точки касания является 
эта точка действительно лежит на стороне квадрата. Следовательно, система уравнений имеет два решения при 
и 
при 
имеет единственное решение. Имеем:
имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение D = 0:
имеет единственное решение в том случае, если дискриминант равен нулю. Решим уравнение D = 0:
и 
касаются при a = 9,25. При найденном значении а абсциссой точки касания является 
эта точка действительно лежит на стороне квадрата. Следовательно, система уравнений имеет два решения при 
и a = 9,25.
получаем, что каждому значению x, удовлетворяющему системе, соответствует ровно одно значение y. Поэтому количество решений системы совпадает с количеством корней уравнения 
Рассмотрим два случая раскрытия модуля.
то 
принимает вид
тогда:
раскрывая модуль, получаем уравнение 
решениями которого являются 
Для найденных решений неравенство 
принимает вид
два решения — случаи 2а) и 2б).
по два решения из каждого пункта, итого четыре решения.
два решения — случаи 1а) и 2б).
по два решения из каждого пункта, итого четыре решения.
Второе — часть гиперболы 
при 
и ее отражение относительно оси Ox.
то система имеет единственное решение 
если 
то 
Ясно, что при 
тогда
то 
значит, 
Теперь из геометрических соображений получаем, что при 
решений системы не меньше двух. Если же 
то решение ровно одно. В итоге получаем ответ: 
получают сдвигом графика функции 
на 1 единицу вверх вдоль оси Oy и на |a| единиц вдоль оси Ox. Второе уравнение системы запишем в виде 
и 
построенных на отрезке [−2; 0].
то есть прямых 
и 
соответственно. Найдем 
он обращается в нуль при 
При этом абсцисса точки касания 
удовлетворяет условию 
Аналогично найдем 
Дискриминант обращается в нуль при 
При этом абсцисса точки касания 
удовлетворяет условию 
изображены зеленым и красным цветом).
и 
графики пересекаются в ровно в четырех точках. При 
и при 
одна из ветвей графика модуля не пересекается с графиком второго уравнения, а другая ветвь имеет с ним не больше двух точек пересечения, поэтому прочие значения параметра не удовлетворяют условию.
и/или 
множества значений a, возможно, с включением граничных точек 
заключаем, что каждое из полученных в левой части уравнения слагаемых неотрицательно, поэтому их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю:
значит, 
значит, 
Учитывая условия 
и 
указанное уравнение может иметь корень только в случае 
откуда 
Найдем дискриминант: 
дискриминант неположителен, а значит указанное уравнение может иметь корень только когда дискриминант равен нулю, это достигается при 
что невозможно ни при каких p или при 
откуда 
(см. первое уравнение совокупности).
Подставим 
тогда 
или 
и получена хотя бы одна из точек 
и множества значений 
и 
множества значений a.
поэтому правая часть равенства неотрицательна при всех значениях переменной. Левая часть уравнение неположительна, значит, равенство достигается тогда и только тогда, когда обе части равны нулю:
При прочих значениях параметра уравнение решений не имеет.
или 
и получена хотя бы одна из точек 
и 
множества значений a.
тогда уравнение можно записать в виде
не принимает положительных значений. При 
функция f принимает только положительные значения и возрастает как произведение положительных возрастающих функций. Заметим, что 
а тогда уравнение (⁎) равносильно уравнению 
тогда уравнение (⁎⁎), а вместе с ним и исходное уравнение имеют хотя бы один корень тогда и только тогда, когда хотя бы один неотрицательный корень имеет уравнение
с центром в точке 
Окружность пересекает вертикальную ось в точках −1 и 1 (см. рис.), уравнение имеет хотя бы одно неотрицательное решение, если 
тогда исходное уравнение принимает вид:
или 
Исследуем сколько решений имеет уравнение 
в зависимости от a и 
Заметим, что слева стоит сумма модулей, то есть при 
решений нет. Запишем уравнение в виде 
График левой части этого уравнения — график модуля с вершиной в точке 
график правой части — график модуля, отражённый относительно 
Это уравнение будет иметь два решения, если одновременно прямая 
лежит правее (выше) прямой 
и прямая 
лежит левее (выше) прямой 
Это достигается условиями 
и 
Таким образом, уравнение совокупности имеет два решения при условии:
находится внутри части плоскости отсекаемой графиком 
то уравнение имеет два решения, если прямые 
и 
совпадает с точкой 
или 
или 
откуда 
При данном значении a оба уравнения принимают вид:
и 
и 
Тогда 
и 
или 
или 
исходное уравнение не имеет решений.
возможно неверные, из-за неверной оценки введенной переменной 
и 
.