PDF-версии: 
В кубе ABCDA1B1C1D1
а) Докажите, что плоскость BA1C1 и прямая 
перпендикулярны.
б) Найдите косинус угла между плоскостями BA1C1 и BA1D1.
Решение. а) Заметим, что проекция прямой
на плоскость 
это прямая 
Проекция прямой на плоскость 
это прямая 
и 
как диагонали квадрата. Таким образом, по теореме о трех перпендикулярах 
и 
Тогда, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, 
б) Пусть точка O — центр куба, а M — середина 
а MO — средняя линия треугольника 
поэтому 
Треугольник 
— равносторонний, 
следовательно, искомый угол равен углу 
Примем длины ребер куба за 
Найдем стороны треугольника Из треугольника находим 
из равностороннего треугольника находим
Поскольку O — середина диагонали 
то 
Теперь применим к треугольнику 
теорему косинусов:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Угол SMH — угол между боковой гранью пирамиды и основанием.
откуда 
Искомый угол между боковыми гранями равен углу при вершине равнобедренного треугольника AKC:
и 
перпендикулярны.
диагонали перпендикулярны, поэтому 
Кроме того, 
так как BC перпендикулярна плоскости 
Отсюда получаем, что прямая 
перпендикулярна плоскости 
А тогда, по признаку перпендикулярности плоскостей, получаем требуемое (ведь плоскость 
Примем длины ребер куба за 
Опустим перпендикуляры 
и CK на сторону 
равносторонние, поэтому перпендикуляры 
— искомый. Из прямоугольного треугольника 
и 
параллельны.
и не пересекаются (так как лежат еще и в параллельных плоскостях, содержащих грани параллелепипеда). Аналогично 
Значит, по признаку параллельности плоскостей, 
возьмем параллельную ей плоскость 
Поскольку 
и 
значит, угол DEA — линейный угол искомого угла. Из прямоугольного треугольника DAE находим 
на плоскость ABCD это прямая AH, то 
по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, высоты треугольников ABD и A1BD имеют общее основание H.
отрезок BD — средняя линия (так как параллелен 
и равен его половине), значит, EB = BC = AB и треугольник EBA — равнобедренный. Тогда
и 
(так как 
), имеем 
Поскольку плоскости ABC и 
пересекаются по прямой AE, имеем
(свойство диагоналей правильного шестиугольника) и 
(поскольку верхнее основание призмы перпеникулярно боковому ребру), то 
а тогда и 
(признак перпендикулярности плоскостей).
(точка K). Тогда 
откуда 
Кроме того 
поскольку 
Тогда
на плоскость ABCD — прямая 
то и 
Аналогично 
(надо рассмотреть плоскость 
поэтому 
Опустим на нее перпендикуляры из точек A и C (они упадут в одну точку из-за равенства треугольников 
и 
) Пусть их основание — точка H. Рассмотрим треугольник ACH. В нем 
откуда
а угол между плоскостями — 
Отсюда отрезки 
Получим параллелограмм 
Из точки D проведём перпендикуляр 
к прямой 
Тогда по теореме о трех перпендикулярах 
Плоский угол 
— искомый. 
следовательно,
а боковое ребро AA1 = 5.
— середину 
Поскольку 
(потому что его проекция на основание 
— прямая AK — перпендикулярна 
и 
(потому что 
), то 
б) 
а боковое ребро AA1 = 8.
середину ребра 
(так как 
) Значит, 
Итак, плоскость 
поэтому плоскости перпендикулярны.
(так как 
) и 
по теореме о трех перпендикулярах (проекция 
на ABC это 
) Поэтому
Вершина пирамиды S проецируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
вершина S проектируется в точку пересечения диагоналей, поэтому боковые ребра равны между собой. По теореме косинусов в треугольнике ABS:
тогда 
откуда 
Аналогично находим 
Тогда:
что и требовалось доказать.
В треугольнике CBQ: угол Q — прямой, 
тогда 
В треугольнике APB: угол P — прямой, 
В треугольнике ABC': угол B — прямой, 
как показано на рисунке. По правилам сложения векторов получаем: 
Запишем условие перпендикулярности: 
откуда ##
и 
Значит, 
Применим выражения векторов через базис и упростим получившиеся уравнение так же, как это сделано выше. В результате получаем: 
Сравнивая коэффициенты, находим, что 
Следовательно, точка P делит пополам отрезок BQ, что и требовалось доказать.
и 
По условию BS = 8. Применим теорему Пифагора к треугольнику BSO, получаем длину базисного вектора: 
Теперь воспользуемся выражениями векторов, которые из п. а), откуда получим: 
и 
делит объем призмы пополам.
и 
Основания этих пирамид − равные прямоугольные трапеции, а высоты равны высоте равностороннего треугольника ABC, поэтому они тоже равны. Следовательно, равны и объемы этих пирамид. Что и требовалось доказать.
Плоскости ABC и 
Из точки D опустим перпендикуляр DH на прямую AK, тогда отрезок CH (проекция DH), по теореме о трех перпендикулярах, перпендикулярен прямой 
поэтому 
и KCD получаем: 
высота CH является высотой и биссектрисой, откуда 
тогда 
СС1 = 3.
треугольник ABC — прямоугольный. Введем координаты с началом в точке C и с осями x, y, z, направленными вдоль ребер CA, CB, CC1 соответственно. Тогда координаты точек будут
уравнение плоскости A1B1C будет 
Тогда, если α искомый угол, то 
Аналогично доказывается, что 
Значит, 
и 
Искомый угол между боковыми гранями равен углу при вершине равнобедренного треугольника 
следовательно, 
Теперь вычислим 
следовательно, QB = 4PB и 
и 
Таким образом, 
BC = 6. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB. 
и 
их высоты соответственно. Тогда
по доказанному ранее, 
= 15. Тогда по теореме Пифагора 
Наконец, 
а 
и боковым ребром 1.
Высота пирамиды проектируется в точку пересечения диагоналей основания. Из вершин A и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
и 
Таким образом, 
следовательно, точка P — середина отрезка BQ.
Высота пирамиды проецируется в точку пересечения диагоналей основания. Из вершин А и C на ребро SB опущены перпендикуляры AP и CQ.
