Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 630120

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали пересекаются в точке O. Точки M и N  — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.

а)  Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AD=10, BC=8, SO=8, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

Спрятать решение

Решение.

а)  По свойству средней линии трапеции MN || AD. По признаку параллельности прямой и плоскости AD || α. Так как точка O расположена ближе к меньшему основанию ВС, а точки S и O лежат в одном полупространстве относительно плоскости α, эта плоскость пересекает грань SAD. Пусть α пересекает SD и SA в точках K и L соответственно. Тогда KL || AD || MN, то есть сечение KLMN  — параллелограмм или трапеция. Стороны ML и KN не параллельны, так как лежат в пересекающихся плоскостях  — боковых гранях пирамиды  — и не параллельны линии их пересечения. Что и требовалось доказать.

 

б)   По свойству средней линии трапеции MN = 9. Далее рассмотрим плоскость SAC. Пусть AO пересекает MN в точке P. Тогда из SO || α следует, что PL || SO и PL перпендикулярен MN. Кроме того, MP = 4 по свойству средней линии треугольника ABC. Рассматривая аналогично плоскость SBD, можно получить, что KL = 1.

Теперь найдем высоту LP трапеции KLMN. Из подобия треугольников AOD и COB имеем AO : OC = 10:8. А из подобия треугольников APL и AOS имеем LP : SO = AP : AO = 9:10 (учтем также, что P  — середина AC). Получаем LP = дробь: числитель: 9, знаменатель: конец дроби 10 умножить на SO = дробь: числитель: 9, знаменатель: конец дроби 10 умножить на 8.

Окончательно S_KLMN = дробь: числитель: 1 плюс 9, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 9, знаменатель: конец дроби 10 умножить на 8 = 36.

Ответ: 36.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 630120: 630156 Все

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 319, Задания 13 ЕГЭ–2022