В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на диагонали BD1 отмечена точка N так, что 
Точка O — середина отрезка CB1.
а) Докажите, что прямая NO проходит через точку A.
б) Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD1 и CB1 и равна 
а) Пусть N' и O' — проекции точке N и O на плоскость ABC. Тогда по свойствам проектирования
и O' — середина BC. Далее пусть P — основание перпендикуляра из точки N' на AB. Из подобия треугольников ABD и PBN' по острому углу следует: 
и 
Имеем 
и 
что означает, что точки A, N' и O' лежат на одной прямой.
Аналогично можно установить, что и проекция NO на плоскость 
проходит через A. Отсюда следует, что и NO проходит через точку A.
б) Прямые BD1 и CB1 — скрещивающиеся, расстояние между ними есть длина их общего перпендикуляра. Длина общего перпендикуляра наименьшая среди длин всех отрезков с концами на двух данных скрещивающихся прямых. Из вышесказанного заключаем, что NO перпендикулярен и BD1, и CB1. Тогда CB1 перпендикулярна наклонной AO, а следовательно, по теореме о трех перпендикулярах, и её проекции BO. Следовательно, 
— квадрат, как прямоугольник с перпендикулярными диагоналями.
Пусть 
Используя пространственную теорему Пифагора, запишем: 
и 
откуда 
Ответ: 
Приведем решение пункта а) Ивана Иванова.
Пусть AB = a, AD = b, AA1 = c. Введем систему координат с началом в точке A так, чтобы направление оси Ox совпадало с направлением вектора 
направление оси Oy — с направлением вектора 
и направление оси Oz — с направлением вектора 
Тогда 
Найдем координаты векторов: 
и 
Получаем 
следовательно, вектора 
и 
коллинеарны, то есть лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Точка N принадлежит обоим этим векторам, следовательно, они лежат на одной прямой, то есть точка A лежит на прямой ON, что и требовалось доказать.