Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 630127

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на диагонали BD1 отмечена точка N так, что BN:ND_1=1:2. Точка O  — середина отрезка CB1.

а)  Докажите, что прямая NO проходит через точку A.

б)  Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD1 и CB1 и равна  корень из 2 .

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть N' и O'  — проекции точке N и O на плоскость ABC. Тогда по свойствам проектирования BN' : N'D = BN:ND_1 =1:2 и O'  — середина BC. Далее пусть P  — основание перпендикуляра из точки N' на AB. Из подобия треугольников ABD и PBN' по острому углу следует N'P = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AD = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби BC и AP = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби AB. Имеем  тангенс \angle BAO' = дробь: числитель: BO', знаменатель: AB конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: 2AB конец дроби и  тангенс \angle PAN' = дробь: числитель: PN', знаменатель: AP конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби BC, знаменатель: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби AB конец дроби = дробь: числитель: BC, знаменатель: 2AB конец дроби , что означает, что точки A, N' и O' лежат на одной прямой.

Аналогично можно установить, что и проекция NO на плоскость ABB_1 проходит через A. А отсюда следует, что и NO проходит через точку A.

 

б)  Прямые BD1 и CB1  — скрещивающиеся, расстояние между ними есть длина их общего перпендикуляра. Длина общего перепендикуляра наименьшая среди длин всех отрезков с концами на двух данных скрещивающихся прямых. Из вышесказанного заключаем, что NO перпендикулярен и BD1, и CB1. Тогда CB1 перпендикулярна наклонной AO, а следовательно, по теореме о трех перпендикулярах и её проекции BO. Следовательно, BB1C1C  — квадрат, как прямоугольник с перпендикулярными диагоналями.

Пусть AB=a, BC=BB_1 = b. Используя пространственную теорему Пифагора запишем: a в квадрате плюс дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби = AO в квадрате = 18 и BN в квадрате плюс NO в квадрате = BO в квадрате равносильно дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби плюс дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 9 конец дроби плюс 2 = дробь: числитель: b в квадрате , знаменатель: 2 конец дроби , откуда a = 2 корень из 3 , b =2 корень из 3 , V = ab в квадрате = 24 корень из 3

 

Ответ: 24 корень из 3 .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 630127: 630163 Все

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 401, Задания 13 ЕГЭ–2022, ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 405
Методы геометрии: Теорема Пифагора
Классификатор стереометрии: Прямоугольный параллелепипед, Объем тела