а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M и N яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми рёбер AB и AD со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые B₁N и CM пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Плос­кость α про­хо­дит через точки N и B₁ па­рал­лель­но пря­мой CM. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти α, если

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на три года. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг будет воз­рас­тать на 30% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

  — пла­те­жи в 2027 и в 2028 годах долж­ны быть по 300 тыс. руб.;

  — к июлю 2029 года долг дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Из­вест­но, что платёж в 2029 году будет равен 860,6 тыс. руб. Какую сумму пла­ни­ру­ет­ся взять в кре­дит?

На сто­ро­не BC па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD вы­бра­на точка M такая, что

а)  До­ка­жи­те, что центр впи­сан­ной в тре­уголь­ник AMD окруж­но­сти лежит на диа­го­на­ли AC.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной в тре­уголь­ник AMD окруж­но­сти, если

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет че­ты­ре раз­лич­ных корня.

С трёхзнач­ным чис­лом про­из­во­дят сле­ду­ю­щую опе­ра­цию: вы­чи­та­ют из него сумму его цифр, а затем по­лу­чив­шу­ю­ся раз­ность делят на 3.

а)  Могло ли в ре­зуль­та­те такой опе­ра­ции по­лу­чить­ся число 201?

б)  Могло ли в ре­зуль­та­те такой опе­ра­ции по­лу­чить­ся число 251?

в)  Сколь­ко раз­лич­ных чисел может по­лу­чить­ся в ре­зуль­та­те такой опе­ра­ции из чисел от 600 до 999 вклю­чи­тель­но?