Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://math-ege.sdamgia.ru)
Вариант № 45394812

Задания 13 ЕГЭ–2022

1.

Дан правильный треугольник ABC. Точка D лежит вне плоскости ABC,  косинус \angle BAD = косинус \angle DAC=0,3.

а)  Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.

б)  Найдите расстояние между прямыми AD и BC, если AC = 6.

2.

Вне плоскости правильного треугольника ABC расположена точка D, причем  косинус \angle DAC = косинус \angle DAB = 0,2.

а)  Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.

б)  Найдите расстояние между этими прямыми, если AB = 2.

3.

Дана треугольная пирамида SABC. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка CH  — высоты треугольника ABC.

а)  Докажите, что AC в квадрате минус BC в квадрате =AS в квадрате минус BS в квадрате .

б)  Найдите объём пирамиды SABC, если AB=25, AC=10, BC=5 корень из 13, SC=3 корень из 10.

4.

Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.

a) Докажите, что  косинус \angle A S C плюс косинус \angle C S B=1,5.

б) Найдите объем тетраэдра SABC, если S C=1 и  косинус \angle ASC= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

5.

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали пересекаются в точке O. Точки M и N  — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.

а)  Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AD=10, BC=8, SO=8, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

6.

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали пересекаются в точке O. Точки M и N  — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.

а)  Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AD=7, BC=5, SO=4, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

7.

В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N являются серединами рёбер AB и AD соответственно.

а)  Докажите, что прямые B1N и CM перпендикулярны.

б)  Плоскость α проходит через точки N и B1 параллельно прямой CM. Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если B_1 N =6.

8.

В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N являются серединами рёбер AB и AD соответственно.

а)  Докажите, что прямые B1N и CM перпендикулярны.

б)  Плоскость α проходит через точки N и B1 параллельно прямой CM. Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если B_1 N = 3 корень из 5.

9.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на диагонали BD1 отмечена точка N так, что BN:ND_1=1:2. Точка O  — середина отрезка CB1.

а)  Докажите, что прямая NO проходит через точку A.

б)  Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD1 и CB1 и равна  корень из 2 .

10.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на диагонали BD1 отмечена точка N так, что BN:ND_1=1:2. Точка O  — середина отрезка CB1.

а)  Докажите, что прямая NO проходит через точку A.

б)  Найдите объём параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если длина отрезка NO равна расстоянию между прямыми BD1 и CB1 и равна  корень из 6 .

11.

Точка М  — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, точка N лежит на стороне основания ВС. Плоскость α проходит через точки М и N параллельно боковому ребру SA.

а)  Плоскость α пересекает ребро DS в точке L. Докажите, что BN:NC=DL:LS.

б)  Пусть BN:NC = 1:2. Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду.

12.

Точка O  — точка пересечения диагоналей грани CDD1C1 куба ABCDA1B1C1D1. Плоскость DA1C1 пересекает диагональ BD1 в точке F.

а)  Докажите, что BF:FD_1=A_1F:FO.

б)  Точки M и N  — середины ребер AB и AA1, соответственно. Найдите угол между прямой MN и плоскостью DA1C1.

13.

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Точка M  — середина SA, на ребре SB отмечена точка N так, что SN : NB =1: 2.

а)  Докажите, что плоскость CMN параллельна прямой SD.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью CMN, если все рёбра равны 12.

14.

Точка M  — середина ребра AA1 треугольной призмы ABCA1B1C1, в основании которой лежит треугольник ABC. Плоскость α проходит через точки B и B1 перпендикулярно прямой C1M.

а)  Докажите, что одна из диагоналей грани ACC1A1 равна одному из ребер этой грани.

б)  Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если плоскость α делит ребро AC в отношении 1:5, считая от вершины A, AC = 20, AA1 = 32.

15.

Точка M  — середина ребра AA1 треугольной призмы ABCA1B1C1, в основании которой лежит треугольник ABC. Плоскость α проходит через точки B и B1 перпендикулярно прямой C1M.

а)  Докажите, что одна из диагоналей грани ACC1A1 равна одному из ребер этой грани.

б)  Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если плоскость α делит ребро AC в отношении 1:3, считая от вершины A, AC = 10, AA1 = 12.

16.

На сфере α выбрали пять точек: A, B, C, D и S. Известно, что AB = BC = CD = DA = 4, SA = SB = SC = SD = 7.

а)  Докажите, что многогранник SABCD  — правильная четырёхугольная пирамида.

б)  Найдите объём многогранника SABCD.