PDF-версии: 
Дан правильный треугольник ABC. Точка D лежит вне плоскости ABC, 
а) Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AD и BC, если AC = 6.
Решение. а) Пусть H — проекция точки D на плоскость ABC, M и N — проекции точки H на прямые AB и AC соответственно. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах прямые DM и AB перпендикулярны, прямые DN и AC перпендикулярны. Тогда
следовательно, треугольники AMH и ANH равны, AH — биссектриса угла BAC, а прямые AH и BC перпендикулярны. Тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, прямые AD и BC перпендикулярны. Что и требовалось доказать.
б) Пусть AK — высота треугольника ABC. Тогда прямые AK и BC перпендикулярны, DH и BC перпендикулярны, и прямая BC перпендикулярна плоскости AKD. Следовательно, высота KE треугольника AKD будет искомым расстоянием. Заметим, что
Тогда, окончательно:
Ответ: б) 
Приведем решение пункта б) ffff fffffff.
Как показано в основном решении, искомым расстоянием будет высота KE треугольника AKD. Пусть AD = x, тогда по теореме косинусов из треугольника ABD получим:
Аналогично найдем DC = DB.
В равнобедренном треугольнике BDC найдем высоту DK:
В равностороннем треугольнике ABC найдем высоту AK:
В треугольнике ADK найдем косинус угла DAK:
Тогда 
Следовательно, 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
следовательно, треугольники AMH и ANH равны, AH — биссектриса угла BAC. Следовательно, прямые AH и BC перпендикулярны, и, по теореме о трёх перпендикулярах, прямые AD и BC также перпендикулярны. Что и требовалось доказать.
Окончательно,
и 
тогда 
Также по теореме Пифагора 
и 
следовательно, 
Таким образом, получим 
Что и требовалось доказать.
тогда 
откуда 
откуда 
и 
Следовательно, 
получим 
и 
следовательно, треугольник ABS равносторонний. Пусть его сторона равна a, значит, 
Подставляя длины сторон, выраженные через a, получаем:
пользуясь предыдущим пунктом, находим: 
Найдём объем тетраэдра:
Тогда
тогда 
откуда 
Далее,
Окончательно найдём объем тетраэдра:
а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
В четырехугольнике MLKN противоположные стороны не равны, а потому он не является параллелограммом. Значит, он является трапецией.
А из подобия треугольников APL и AOS имеем 
(учтем также, что P — середина AC). Получаем 
а прямая SO перпендикулярна прямой AD.
значит, 
значит, 
Отрезок MN как средняя линия трапеции строго больше половины основания AD, поэтому 
значит, сечение не параллелограмм, а трапеция. Что и требовалось доказать .
поэтому 
По формуле площади трапеции 
на плоскость ABC. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах прямые B1N и CM перпендикулярны.
a значит, прямоугольные треугольники 
поскольку прямая B1N перпендикулярна прямой NL, параллельной прямой CM. Пусть ребро куба равно a. Получаем: 
получаем: 
и 
поэтому 
откуда 
то есть 
к плоскости α, уравнение которой запишем в виде 
Нормаль перпендикулярна вектору 
а потому их скалярное произведение равно нулю: 
Подставим в уравнение плоскости координаты точек N, B1 и решим систему уравнений:
тогда 
следовательно, прямая BN перпендикулярна прямой CM. По теореме о 3-x перпендикулярах прямые B1N и CM перпендикулярны, ч. т. д.
(записан двумя способами утроенный объем пирамиды). Найдем h1. По т. Пифагора
Точка O — середина отрезка CB1.
и O' — середина BC. Далее пусть P — основание перпендикуляра из точки N' на AB. Из подобия треугольников ABD и PBN' по острому углу следует: 
и 
Имеем 
и 
что означает, что точки A, N' и O' лежат на одной прямой. 
проходит через A. Отсюда следует, что и NO проходит через точку A.
— квадрат, как прямоугольник с перпендикулярными диагоналями. 
Используя пространственную теорему Пифагора, запишем: 
и 
откуда 
направление оси Oy — с направлением вектора 
и направление оси Oz — с направлением вектора 
Тогда 
Найдем координаты векторов: 
и 
Получаем 
следовательно, вектора 
и 
коллинеарны, то есть лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Точка N принадлежит обоим этим векторам, следовательно, они лежат на одной прямой, то есть точка A лежит на прямой ON, что и требовалось доказать.
— квадрат, как прямоугольник с перпендикулярными диагоналями. 
Используя пространственную теорему Пифагора запишем: 
и 
откуда 
Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду.
Но из параллельности плоскости α и прямой SA получаем, что прямые KL и SA параллельны, поэтому по теореме о пропорциональных отрезках 
а это значит, что высота высота пирамиды LPKD равна трети высоты SABCD, а 
В треугольнике SBD отрезок LO — средняя линия, поэтому 
а значит, 
Тогда NK лежит в плоскости CMN, поэтому, по признаку параллельности прямой и плоскости, плоскость CMN параллельна прямой SD.
Тогда AP — средняя линия треугольника RBC, а значит, 
Следовательно, 
Из треугольника CDP находим 
Треугольник ASC прямоугольный, поскольку 
(действительно, 
Зная, что 
найдем MC из прямоугольного треугольника MSC:
а основание 
Найдем высоту CQ этого треугольника:
и применим теорему косинусов к треугольникам SMN и SNC: 
Следовательно, 
и 
следовательно,
и 
следовательно,
Тогда высота 
