Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 630098

Точка М  — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD, точка N лежит на стороне основания ВС. Плоскость α проходит через точки М и N параллельно боковому ребру SA.

а)  Плоскость α пересекает ребро DS в точке L. Докажите, что BN:NC=DL:LS.

б)  Пусть BN:NC = 1:2. Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость α разбивает пирамиду.

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть O  — центр квадрата ABCD. Рассмотрим плоскость SAC. Плоскость α пересекает её по прямой, параллельной SA. Это прямая MO. Тогда плоскость α пересекает плоскость ABC по прямой NO. Пусть NO пересекает AD в точке K. В силу симметрии ABCD относительно O имеем DK:KA=BN:NC. Но из параллельности плоскости α и прямой SA получаем, что прямые KL и SA параллельны, поэтому по теореме о пропорциональных отрезках

DL:LS = DK:KA=BN:NC,

что и требовалось.

б)  Пусть NK пересекает CD в точке P. Из подобия прямоугольных треугольников PKD и PNC по острому углу получаем, что PD = CD. Отмети, что объем MLDKNC равен разности объемов пирамид MPNC и LPKD. Выразим объемы этих пирамид через объем SABCD.

Так как M  — середина , то высота пирамиды MPNC равна половине высоты SABCD, в тоже время

S_PNC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби BC умножить на 2CD = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби S_ABCD,

откуда V_MPNC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби V_ABCD.

Из доказанного в пункте а) следует DK : DA = LD : SD = 1 : 3, а это значит, что высота высота пирамиды LPKD равна трети высоты SABCD, а

S_PKD = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби AD умножить на CD = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби S_ABCD,

откуда V_LPKD = дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 18V_ABCD.

Окончательно,

V_MLDKNC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби V_ABCD минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 18 V_ABCD = дробь: числитель: 5, знаменатель: конец дроби 18V_ABCD,

откуда немедленно следует ответ.

 

Ответ: б) 5 : 13.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Восток, Задания 13 ЕГЭ–2022
Методы геометрии: Симметрия в решениях
Классификатор стереометрии: Правильная четырёхугольная пирамида