а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит тра­пе­ция ABCD с боль­шим ос­но­ва­ни­ем AD. Диа­го­на­ли тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Точки M и N  — се­ре­ди­ны бо­ко­вых сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α про­хо­дит через точки M и N па­рал­лель­но пря­мой SO.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α, если а пря­мая SO пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AD.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на три года в раз­ме­ре 900 тыс. руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — каж­дый ян­варь долг будет воз­рас­тать на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

  — с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга;

  — пла­те­жи в 2027 и 2028 годах долж­ны быть равны;

  — к июлю 2029 года долг дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Из­вест­но, что платёж в 2029 году со­ста­вит 499,2 тыс. руб­лей. Сколь­ко руб­лей со­ста­вит платёж в 2027 году?

В па­рал­ле­ло­грам­ме ABCD угол BAC вдвое боль­ше угла CAD. Бис­сек­три­са угла BAC пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок BC в точке L. На про­дол­же­нии сто­ро­ны CD за точку D вы­бра­на такая точка E, что

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те EL, если

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

имеет более двух раз­лич­ных кор­ней.

Есть че­ты­ре ко­роб­ки: в пер­вой ко­роб­ке 121 ка­мень, во вто­рой  — 122, в тре­тьей  — 123, а в четвёртой ко­роб­ке кам­ней нет. За один ход берут по од­но­му камню из любых трёх ко­ро­бок и кла­дут в остав­шу­ю­ся. Сде­ла­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство таких ходов.

а)  Могло ли в пер­вой ко­роб­ке ока­зать­ся 121 кам­ней, во вто­рой  — 122, в тре­тье  — 119, а в четвёртой  — 4?

б)  Могло ли в четвёртой ко­роб­ке ока­зать­ся 366 кам­ней?

в)  Какое наи­боль­шее число кам­ней могло ока­зать­ся в пер­вой ко­роб­ке?