Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 630217

В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N являются серединами рёбер AB и AD соответственно.

а)  Докажите, что прямые B1N и CM перпендикулярны.

б)  Плоскость α проходит через точки N и B1 параллельно прямой CM. Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если B_1 N =6.

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть отрезки NB и MC пересекаются в точке E. Прямоугольные треугольники NAB и MBC равны по двум катетам, значит,

\angle M E B=180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка \angle E M B плюс \angle E B M правая круглая скобка =180 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка минус левая круглая скобка \angle E M B плюс \angle M C B правая круглая скобка =90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка .

Отрезок BN  — проекция отрезка N B_1 на плоскость ABC. Следовательно, по теореме о трёх перпендикулярах прямые B1N и CM перпендикулярны.

б)  Пусть плоскость α пересекает ребро CD в точке L. Прямые NL и CM, лежащие в плоскости ABC, параллельны, поскольку прямая NL лежит в плоскости α, параллельной прямой CM. Следовательно, \angle D L N=\angle D C M=\angle B M C, a значит, прямоугольные треугольники DLN и BMC подобны по острому углу. Получаем:

 D L=B M умножить на дробь: числитель: D N, знаменатель: B C конец дроби = дробь: числитель: A B, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: A D, знаменатель: 2 B C конец дроби = дробь: числитель: C D, знаменатель: 4 конец дроби .

Заметим, что \angle L N B_1=90 в степени левая круглая скобка \circ правая круглая скобка , поскольку прямая B1N перпендикулярна прямой NL, параллельной прямой CM. Пусть ребро куба равно a. Получаем:

 36=B_1 N в квадрате =A N в квадрате плюс A B в квадрате плюс B B_1 в квадрате = дробь: числитель: 9 a в квадрате , знаменатель: 4 конец дроби ,

откуда

a=4 ; B B_1=a=4, D N=2, C L=3, L N= дробь: числитель: a корень из 5, знаменатель: 4 конец дроби = корень из 5.

Объём пирамиды CNLB1 равен

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби C L умножить на D N правая круглая скобка умножить на B B_1=4 .

С другой стороны, объём этой пирамиды равен

 дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби N B_1 умножить на L N правая круглая скобка умножить на x=x корень из 5,

где x  — расстояние от точки C до плоскости α. Из равенства x корень из 5=4 получаем x= дробь: числитель: 4 корень из 5, знаменатель: 5 конец дроби .

 

Ответ: б)  дробь: числитель: 4 корень из 5, знаменатель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 630217: 630201 Все

Источник: Задания 13 ЕГЭ–2022, ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 337