ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 14 № 628026 Добавить в вариант

Дана треугольная пирамида SABC. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка CH  — высоты треугольника  ABC.

а)  Докажите, что $AC в квадрате минус BC в квадрате =AS в квадрате минус BS в квадрате .$

б)  Найдите объём пирамиды SABC, если $AB=25,$ $AC=10,$ $BC=5 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента ,$ $SC=3 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента .$

Спрятать решение

Решение.

а)  Заметим, что по теореме о трёх перпендикулярах отрезок SH перпендикулярен ребру AB. По теореме Пифагора $AS в квадрате =SH в квадрате плюс AH в квадрате$ и $BS в квадрате =SH в квадрате плюс BH в квадрате ,$ тогда $AS в квадрате минус BS в квадрате =AH в квадрате минус BH в квадрате .$ Также по теореме Пифагора $AC в квадрате =AH в квадрате плюс CH в квадрате$ и $BC в квадрате =BH в квадрате плюс CH в квадрате ,$ следовательно, $AC в квадрате минус BC в квадрате =AH в квадрате минус BH в квадрате .$ Таким образом, получим $AS в квадрате минус BS в квадрате =AC в квадрате минус BC в квадрате .$ Что и требовалось доказать.

б)  Пусть $AH=x,$ тогда $10 в квадрате минус x в квадрате = левая круглая скобка 5 корень из: начало аргумента: 13 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 25 минус x правая круглая скобка в квадрате ,$ $100 минус x в квадрате =325 минус 625 плюс 50x минус x в квадрате ,$ откуда $x=8.$

По теореме Пифагора $CH в квадрате =100 минус 64=36,$ откуда $CH=6$ и $CO=3.$ Следовательно, $SO в квадрате =CS в квадрате минус CO в квадрате =9 умножить на 10 минус 9=81,$ получим $SO=9.$

Таким образом,

$V_SABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на SO умножить на S_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 9 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 25 умножить на 6 =225.$

Ответ: 225.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Источники:

ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. Санкт-Петербург. Вариант 2;

Задания 13 ЕГЭ–2022.

Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах

Классификатор стереометрии: Объем тела, Треугольная пирамида

Спрятать решение · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь