Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 628026

Дана треугольная пирамида SABC. Основание высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка CH  — высоты треугольника ABC.

а)  Докажите, что AC в квадрате минус BC в квадрате =AS в квадрате минус BS в квадрате .

б)  Найдите объём пирамиды SABC, если AB=25, AC=10, BC=5 корень из 13, SC=3 корень из 10.

Спрятать решение

Решение.

а)  Заметим, что по теореме о трёх перпендикулярах отрезок SH перпендикулярен ребру AB. По теореме Пифагора AS в квадрате =SH в квадрате плюс AH в квадрате и BS в квадрате =SH в квадрате плюс BH в квадрате , тогда AS в квадрате минус BS в квадрате =AH в квадрате минус BH в квадрате . Также по теореме Пифагора AC в квадрате =AH в квадрате плюс CH в квадрате и BC в квадрате =BH в квадрате плюс CH в квадрате , следовательно, AC в квадрате минус BC в квадрате =AH в квадрате минус BH в квадрате . Таким образом, получим AS в квадрате минус BS в квадрате =AC в квадрате минус BC в квадрате . Что и требовалось доказать.

б)  Пусть AH=x, тогда 10 в квадрате минус x в квадрате = левая круглая скобка 5 корень из 13 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка 25 минус x правая круглая скобка в квадрате , 100 минус x в квадрате =325 минус 625 плюс 50x минус x в квадрате , откуда x=8.

По теореме Пифагора CH в квадрате =100 минус 64=36, откуда CH=6 и CO=3. Следовательно, SO в квадрате =CS в квадрате минус CO в квадрате =9 умножить на 10 минус 9=81, получим SO=9.

Таким образом,

V_SABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на SO умножить на S_ABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 9 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 25 умножить на 6 =225.

Ответ: 225.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. Санкт-Петербург. Вариант 2, Задания 13 ЕГЭ–2022
Классификатор стереометрии: Объем тела, Треугольная пирамида