Точка M — середина ребра AA1 треугольной призмы ABCA1B1C1, в основании которой лежит треугольник ABC. Плоскость α проходит через точки B и B1 перпендикулярно прямой C1M.
а) Докажите, что одна из диагоналей грани ACC1A1 равна одному из ребер этой грани.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если плоскость α делит ребро AC в отношении 1:5, считая от вершины A, AC = 20, AA1 = 32.
а) Так как плоскость α перпендикулярна прямой C1M и содержит ребро BB1, то ребро BB1 перпендикулярно прямой C1M, следовательно, ребро AA1 перпендикулярно прямой C1M, то есть в треугольнике AA1C1 прямая C1M является медианой и высотой, следовательно, треугольник AA1C1 — равнобедренный, где
б) Так как BB1 лежит в плоскости α и ребро CC1 параллельно ребру BB1, то ребро CC1 параллельно плоскости α и расстояние от точки C до плоскости α равно расстоянию от C1 до плоскости α. Пусть K и K1 — точки пересечения плоскости α с ребрами AC и A1C1, соответственно. Ребра AA1, BB1, CC1 параллельны, следовательно, прямая KK1 параллельна ребру AA1. Точки H и G — точки пересечения KK1 с C1M и C1A, соответственно. Треугольник C1K1G подобен треугольнику C1A1A. Высота C1M перпендикулярна плоскости α, следовательно, искомое расстояние равно C1H. Тогда 
и 
следовательно,
А так как
то 
Ответ: б) 10.