Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 630695

Точка M  — середина ребра AA1 треугольной призмы ABCA1B1C1, в основании которой лежит треугольник ABC. Плоскость α проходит через точки B и B1 перпендикулярно прямой C1M.

а)  Докажите, что одна из диагоналей грани ACC1A1 равна одному из ребер этой грани.

б)  Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если плоскость α делит ребро AC в отношении 1:5, считая от вершины A, AC = 20, AA1 = 32.

Спрятать решение

Решение.

а)  Так как плоскость α перпендикулярна прямой C1M и содержит ребро BB1, то ребро BB1 перпендикулярно прямой C1M, следовательно, ребро AA1 перпендикулярно прямой C1M, то есть в треугольнике AA1C1 прямая C1M является медианой и высотой, следовательно, треугольник AA1C1  — равнобедренный, где AC_1=A_1C_1.

б)  Так как BB1 лежит в плоскости α и ребро CC1 параллельно ребру BB1, то ребро CC1 параллельно плоскости α и расстояние от точки C до плоскости α равно расстоянию от C1 до плоскости α. Пусть K и K1  — точки пересечения плоскости α с ребрами AC и A1C1, соответственно. Ребра AA1, BB1, CC1 параллельны, следовательно, прямая KK1 параллельна ребру AA1. Точки H и G  — точки пересечения KK1 с C1M и C1A, соответственно. Треугольник C1K1G подобен треугольнику C1A1A. Высота C1M перпендикулярна плоскости α, следовательно, искомое расстояние равно C1H. Тогда A_1C_1=AC=20, и A_1M= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AA_1=16, следовательно,

C_1M= корень из A_1C_1 в квадрате минус A_1M в квадрате =12,

А так как

 дробь: числитель: C_1H, знаменатель: C_1M конец дроби = дробь: числитель: C_1K_1, знаменатель: C_1A_1 конец дроби = дробь: числитель: CK, знаменатель: CA конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби ,

то C_1H= дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби C_1M=10.

 

Ответ: б) 10.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 630702: 630695 Все

Источник: ЕГЭ по математике 27.06.2022. Резервная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 502, Задания 13 ЕГЭ–2022
Методы геометрии: Теорема Пифагора