Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 628006

Вне плоскости правильного треугольника ABC расположена точка D, причем  косинус \angle DAC = косинус \angle DAB = 0,2.

а)  Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.

б)  Найдите расстояние между этими прямыми, если AB = 2.

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть H  — проекция точки D на плоскость ABC, M и N  — проекции точки H на прямые AC и AB соответственно. Тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, прямые DM и AC перпендикулярны, прямые DN и AB перпендикулярны, AM=AN=AD умножить на 0,2, следовательно, треугольники AMH и ANH равны, AH  — биссектриса угла BAC. Следовательно, прямые AH и BC перпендикулярны, и, по теореме о трёх перпендикулярах, прямые AD и BC также перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

б)  Пусть K  — точка пересечения прямых AH и BC. Прямые AK и BC перпендикулярны, прямые DH и BC также перпендикулярны, тогда прямая BC перпендикулярна плоскости ADK, а высота KE треугольника AKD является искомым расстоянием. Угол HAM равен 30°, тогда

AH=AM умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из 3 конец дроби =AD умножить на 0,2 умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из 3 конец дроби =AD умножить на дробь: числитель: 4 корень из 3, знаменатель: 30 конец дроби = дробь: числитель: AD умножить на 2 корень из 3, знаменатель: 15 конец дроби .

Следовательно,  косинус \angle HAD= дробь: числитель: 2 корень из 3, знаменатель: 15 конец дроби . Окончательно,

KE=KA умножить на синус \angle HAD=2 умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из 1 минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 225 конец дроби = корень из 3 умножить на дробь: числитель: корень из 213, знаменатель: 15 конец дроби = дробь: числитель: корень из 71, знаменатель: 5 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: корень из 71, знаменатель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 627989: 628006 Все

Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна, Задания 13 ЕГЭ–2022