а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Точка M  — се­ре­ди­на ребра AA₁ тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит тре­уголь­ник ABC. Плос­кость α про­хо­дит через точки B и B₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой C₁M.

а)  До­ка­жи­те, что одна из диа­го­на­лей грани ACC₁A₁ равна од­но­му из ребер этой грани.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти α, если плос­кость α делит ребро AC в от­но­ше­нии 1:5, счи­тая от вер­ши­ны A, AC  =  20, AA₁  =  32.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

15-го ян­ва­ря пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке на не­ко­то­рый срок (целое число ме­ся­цев). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

  — 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг будет воз­рас­тать на 1 % по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца;

  — со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца не­об­хо­ди­мо одним пла­те­жом вы­пла­тить часть долга;

  — 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен быть на одну и ту же сумму мень­ше долга на 15-е число преды­ду­ще­го ме­ся­ца.

На сколь­ко ме­ся­цев пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит, если из­вест­но, что сумма всех пла­те­жей после пол­но­го по­га­ше­ния кре­ди­та будет на 20 % боль­ше суммы, взя­той в кре­дит?

Точка D лежит на ос­но­ва­нии AC рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC. Точки I и J  — цен­тры окруж­но­стей, опи­сан­ных около тре­уголь­ни­ков ABD и CBD со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые BI и DJ па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те IJ, если AC  =  16,

Найти все зна­че­ния a, при ко­то­рых урав­не­ние

имеет ровно три раз­лич­ных корня.

У юве­ли­ра есть 38 по­лу­дра­го­цен­ных кам­ней, масса каж­до­го из ко­то­рых  — целое число грам­мов, не мень­шее 100 (не­ко­то­рые камни могут иметь рав­ную массу). Эти камни рас­пре­де­ли­ли по трем кучам: в пер­вой куче n₁ кам­ней, во вто­рой  — n₂ кам­ней, в тре­тьей  — n₃ кам­ней, при­чем n₁ < n₂ < n₃. Сум­мар­ная масса (в грам­мах) кам­ней в пер­вой куче равна S₁, во вто­рой  — S₂, а в тре­тьей  — S₃.

а)  Может ли вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство S₁ > S₂ > S₃?

б)  Может ли вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство S₁ > S₂ > S₃, если масса лю­бо­го камня не пре­вос­хо­дит 108 грам­мов?

в)  Из­вест­но, что масса лю­бо­го камня не пре­вос­хо­дит k грам­мов. Най­ди­те наи­мень­шее целое зна­че­ние k, для ко­то­ро­го может вы­пол­нять­ся не­ра­вен­ство S₁ > S₂ > S₃.