На сфере α выбрали пять точек: A, B, C, D и S. Известно, что AB = BC = CD = DA = 4, SA = SB = SC = SD = 7.
а) Докажите, что многогранник SABCD — правильная четырёхугольная пирамида.
б) Найдите объём многогранника SABCD.
а) Заметим, что точки A, B, C и D равноудалены от точки S, следовательно, лежат на сфере с центром в этой точке. Таким образом, все эти точки лежат в пересечении двух сфер. Пересечением двух сфер является окружность, следовательно, точки A, B, C и D лежат на одной окружности, в частности в одной плоскости. Заметим, что тогда ABCD — ромб, вписанный в окружность, и, следовательно, квадрат. Таким образом, SABCD — пирамида в основании, которой лежит квадрат, а боковые ребра равны, следовательно, это правильная четырехугольная пирамида.
б) Пусть O — центр квадрата ABCD, его площадь: 
Тогда высота 
Таким образом, объём многогранника SABCD равен: 
Ответ: б) 