Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 630709

На сфере α выбрали пять точек: A, B, C, D и S. Известно, что AB = BC = CD = DA = 4, SA = SB = SC = SD = 7.

а)  Докажите, что многогранник SABCD  — правильная четырёхугольная пирамида.

б)  Найдите объём многогранника SABCD.

Спрятать решение

Решение.

а)   Заметим, что точки A, B, C и D равноудалены от точки S, следовательно, лежат на сфере с центром в этой точке. Таким образом, все эти точке лежат в пересечении двух сфер. Пересечением двух сфер является окружность, следовательно, точки A, B, C и D лежат на одной окружности, в частности в одной плоскости. Заметим, что тогда ABCD  — ромб, вписанный в окружность и, следовательно, квадрат. Таким образом, SABCD  — пирамида в основании, которой лежит квадрат, а боковые ребра равны, следовательно, это правильная четырехугольная пирамида.

б)  Пусть O  — центр квадрата ABCD, его площадь: S_осн = 16, AO= дробь: числитель: AC, знаменатель: 2 конец дроби =2 корень из 2. Тогда высота SO= корень из SA в квадрате минус AO в квадрате = корень из 41.

Таким образом, объём многогранника SABCD равен: V_SABCD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на S_осн умножить на SO= дробь: числитель: 16 корень из 41 , знаменатель: 3 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: 16 корень из 41 , знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: ЕГЭ по математике 27.06.2022. Резервная волна. Вариант 992, Задания 13 ЕГЭ–2022
Методы геометрии: Теорема Пифагора