Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 630201

В кубе ABCDA1B1C1D1 точки M и N являются серединами рёбер AB и AD соответственно.

а)  Докажите, что прямые B1N и CM перпендикулярны.

б)  Плоскость α проходит через точки N и B1 параллельно прямой CM. Найдите расстояние от точки C до плоскости α, если B_1 N = 3 корень из 5.

Спрятать решение

Решение.

а)  Прямая BN  — проекция B1N на плоскость ABCD. Треугольники BCM и ABN равны по двум катетам, следовательно,

\angle BCM =\angle ABN=30 градусов минус \angle CBN,

откуда \angle BCM плюс \angle CBN=90 градусов, следовательно, прямая BN перпендикулярна прямой CM. По теореме о 3-x перпендикулярах прямые B1N и CM перпендикулярны, ч. т. д.

б)  Проведём прямую NP параллельную прямой CM. Треугольник NPD подобен треугольнику CMB, значит,  дробь: числитель: PD, знаменатель: ND конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .

Рассмотрим пирамиду B1CPN. Пусть отрезок h1  — высота, проведенная из точки B1, а отрезок h2  — высота, проведенная из точки С. Тогда h_1 умножить на S_CPN=h_2 умножить на S_B_1PN (записан двумя способами утроенный объем пирамиды). Найдем h1. По т. Пифагора

h_1 в квадрате плюс h_1 в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: h_1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =B_1N в квадрате =45 \Rightarrow дробь: числитель: 9, знаменатель: 4 конец дроби h_1 в квадрате =45 \Rightarrow h_1=2 корень из 5 ,

откуда

CM в квадрате = левая круглая скобка 2 корень из 5 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка корень из 5 правая круглая скобка в квадрате =25 \Rightarrow CM=5,

получаем

NP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CM= дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби .

Так как прямые NP и CM параллельны, то отрезок B1N перпендикулярен прямой NP, следовательно,

S_B_1 NP= дробь: числитель: 3 корень из 5 умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 15 корень из 5 , знаменатель: 4 конец дроби .

Значит,

S_CPN= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AD умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби CD= дробь: числитель: 3, знаменатель: 16 конец дроби умножить на 2 корень из 5 умножить на 2 корень из 5 = дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби .

Тогда

h_2= дробь: числитель: h_1 умножить на S_CPN, знаменатель: S_B_1PN конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из 5 умножить на дробь: числитель: 15, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: 15 корень из 5 , знаменатель: 4 конец дроби конец дроби =2.

Ответ: б) 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 630217: 630201 Все

Источник: ЕГЭ — 2022. Основная волна 02.06.2022. Москва. Вариант 338, Задания 13 ЕГЭ–2022, ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург, Москва, центр. Вариант 338