Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 628036

Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°.

a) Докажите, что  косинус \angle A S C плюс косинус \angle C S B=1,5.

б) Найдите объем тетраэдра SABC, если S C=1 и  косинус \angle ASC= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть точка O  — центр основания конуса. Тогда \angle OAS =\angle OBS=60 градусов, следовательно, треугольник ABS равносторонний. Пусть его сторона равна a, значит,

d = AB = SA = SB = SC.

Применим теорему косинусов к треугольникам ASC и BSC, получим:

AC в квадрате = a в квадрате плюс a в квадрате минус 2a в квадрате косинус ASC = 2a в квадрате левая круглая скобка 1 минус косинус ASC правая круглая скобка ,

BC в квадрате = a в квадрате плюс a в квадрате минус 2a в квадрате косинус BSC = 2a в квадрате левая круглая скобка 1 минус косинус BSC правая круглая скобка .

Вписанный угол ACB опирается на диаметр, поэтому он равен 90°. Следовательно, треугольник ABC прямоугольный, и по теореме Пифагора AB в квадрате = AC в квадрате плюс CB в квадрате . Подставляя длины сторон, выраженные через a, получаем:

a в квадрате = 2a в квадрате левая круглая скобка 1 минус косинус ASC правая круглая скобка плюс 2a в квадрате левая круглая скобка 1 минус косинус BSC правая круглая скобка равносильно
 равносильно 1 = 2 левая круглая скобка 1 минус косинус ASC правая круглая скобка плюс 2 левая круглая скобка 1 минус косинус BSC правая круглая скобка равносильно косинус ASC плюс косинус CSB = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби .

Это и требовалось доказать.

б)  Из условий  косинус ASC= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , a=1, пользуясь предыдущим пунктом, находим:  косинус CSB = дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби ,

AC в квадрате = 2a в квадрате левая круглая скобка 1 минус косинус ASC правая круглая скобка = 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ,

BC в квадрате = 2a в квадрате левая круглая скобка 1 минус косинус BSC правая круглая скобка = 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

Найдем площадь лежащего в основании тетраэдра треугольника ABC:

S_ABC = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби корень из дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: корень из 2 , знаменатель: 6 конец дроби .

Отрезок SO  — высота тетраэдра  — высота равностороннего треугольника ASB, откуда SO = a дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби . Найдём объем тетраэдра:

V_SABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби S_ABC умножить на SO = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из 2 }6 умножить на дробь: числитель: корень из 3 , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из { 6, знаменатель: , конец дроби знаменатель: 36 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: корень из 6, знаменатель: 36 конец дроби .

 

Приведем другое решение.

а)  Пусть O  — центр основания конуса. Тогда \angle OAS =\angle OBS=60 градусов, следовательно, треугольник ABS равносторонний. По теореме косинусов,

 косинус \angle ASC= дробь: числитель: AS в квадрате плюс CS в квадрате минус AC в квадрате , знаменатель: 2AS умножить на SC конец дроби = дробь: числитель: 2AB в квадрате минус AC в квадрате , знаменатель: 2AB в квадрате конец дроби ,

 косинус \angle CSB= дробь: числитель: CS в квадрате плюс BS в квадрате минус CB в квадрате , знаменатель: 2CS умножить на BS конец дроби = дробь: числитель: 2AB в квадрате минус CB в квадрате , знаменатель: 2AB в квадрате конец дроби ,

Заметим, что поскольку угол ACB опирается на диаметр, он равен 90°. Тогда AC в квадрате плюс CB в квадрате =AB в квадрате . Тогда

 косинус \angle ASC плюс косинус \angle CSB= дробь: числитель: 4AB в квадрате минус AC в квадрате минус CB в квадрате , знаменатель: 2AB в квадрате конец дроби =
= дробь: числитель: 4AB в квадрате минус левая круглая скобка AC в квадрате плюс CB в квадрате правая круглая скобка , знаменатель: 2AB в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 4AB в квадрате минус AB в квадрате , знаменатель: 2AB в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 3AB в квадрате , знаменатель: 2AB в квадрате конец дроби =1,5.

Что и требовалось доказать.

б)  По условию,  косинус \angle ASC= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , тогда  дробь: числитель: 2AB в квадрате минус AC в квадрате , знаменатель: 2AB в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , 3AC в квадрате =2AB в квадрате =2SC в квадрате =2 откуда AC= корень из дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби . Далее,

BC в квадрате =AB в квадрате минус AC в квадрате =1 минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби равносильно BC= корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .

Отрезок SO  — высота тетраэдра, SO=SA умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби . Окончательно, найдём объем тетраэдра:

V_SABC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби умножить на корень из дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: корень из 6, знаменатель: 36 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: корень из 6, знаменатель: 36 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. Иркутск. Вариант 3, Задания 13 ЕГЭ–2022, ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. ФИПИ. Вариант 4
Методы геометрии: Теорема косинусов
Классификатор стереометрии: Конус, Объем тела