Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 630185

Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Точка M  — середина SA, на ребре SB отмечена точка N так, что SN : NB =1: 2.

а)  Докажите, что плоскость CMN параллельна прямой SD.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью CMN, если все рёбра равны 12.

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть O  — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD, точка L  — середина ребра SB, K  — точка пересечения медиан треугольника SAC. Тогда

 дробь: числитель: SN, знаменатель: SL конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби SB , знаменатель: дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SB конец дроби = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: SK, знаменатель: SO конец дроби .

По теореме, обратной теореме Фалеса, получаем, что  NK \| LO. В треугольнике SBD отрезок LO  — средняя линия, поэтому LO \| SD, а значит, NK \| SD. Тогда NK лежит в плоскости CMN, поэтому, по признаку параллельности прямой и плоскости, плоскость CMN параллельна прямой SD.

б)  Пусть прямая MN пересекает плоскость основания пирамиды в точке R. Применим теорему Менелая к треугольнику ASB и прямой MN, получим:

 дробь: числитель: SN, знаменатель: NB конец дроби умножить на дробь: числитель: BR, знаменатель: RA конец дроби умножить на дробь: числитель: AM, знаменатель: MS конец дроби =1 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: BR, знаменатель: RA конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 1 конец дроби =1 равносильно BR=2RA,

откуда RA=AB=12. Тогда AP  — средняя линия треугольника RBC, а значит, AP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC=6. Следовательно, PD=6. Из треугольника CDP находим

CP в квадрате =CD в квадрате плюс DP в квадрате =12 в квадрате плюс 6 в квадрате =36 умножить на 5,

откуда CP=6 корень из 5 .

Основание ABCD квадрат, поэтому AC=AB корень из 2=12 корень из 2. Треугольник ASC прямоугольный, поскольку AS в квадрате плюс SC в квадрате =AC в квадрате (действительно, 12 в квадрате плюс 12 в квадрате = левая круглая скобка 12 корень из 2 правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка . Зная, что \angle ASC=90 градусов =\angle MSC, найдем MC из прямоугольного треугольника MSC:

MC в квадрате =MS в квадрате плюс SC в квадрате =6 в квадрате плюс 12 в квадрате =36 умножить на 5.

откуда MC=6 корень из 5.

Итак, треугольник MCP равнобедренный, его боковые стороны равны 6 корень из 5, а основание MP= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби SD=6. Найдем высоту CQ этого треугольника:

CQ= корень из CP в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби MP правая круглая скобка в квадрате = корень из 36 умножить на 5 минус 9=3 корень из 19,

и его площадь:

S_MPC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби MP умножить на CQ= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 умножить на 3 корень из 19=9 корень из 19.

Осталось найти площадь треугольника NMC. Для этого заметим, что \angle ASB=\angle BSC=60 градусов и применим теорему косинусов к треугольникам SMN и SNC:

MN в квадрате =MS в квадрате плюс SN в квадрате минус 2MS умножить на SN умножить на косинус 60 градусов =36 плюс 16 минус 2 умножить на 6 умножить на 4 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =28,

NC в квадрате =SC в квадрате плюс SN в квадрате минус 2SC умножить на SN умножить на косинус 60 градусов =144 плюс 16 минус 2 умножить на 12 умножить на 4 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби =112.

В треугольнике MNC известны три стороны. Применим к нему теорему косинусов, получим:

 косинус \angle NMC= дробь: числитель: MN в квадрате плюс MC в квадрате минус NC в квадрате , знаменатель: 2 умножить на MN умножить на MC конец дроби = дробь: числитель: 180 плюс 28 минус 112, знаменатель: 2 умножить на корень из 28 умножить на корень из 180 конец дроби =
= дробь: числитель: 96, знаменатель: 2 умножить на корень из 28 умножить на корень из 180 конец дроби = дробь: числитель: 48, знаменатель: корень из 28 умножить на корень из 180 конец дроби = дробь: числитель: 48, знаменатель: 12 корень из 35 конец дроби = дробь: числитель: 4 корень из 35, знаменатель: 35 конец дроби

а тогда

 синус в квадрате \angle NMC=1 минус косинус в квадрате \angle NMC=1 минус левая круглая скобка дробь: числитель: 4 корень из 35, знаменатель: 35 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 19, знаменатель: 35 конец дроби ,

то есть  синус \angle NMC= корень из дробь: числитель: 19, знаменатель: 35 конец дроби . Следовательно,

S_NMC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби MN умножить на MC умножить на синус \angle NMC= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из 28 умножить на корень из 180 умножить на корень из дробь: числитель: 19, знаменатель: 35 конец дроби = 6 корень из 19.

Таким образом, для площади сечения получаем:

S_CNMP=S_\Delta MPC плюс S_\Delta MNC=9 корень из 19 плюс 6 корень из 19=15 корень из 19.

Ответ: б) 15 корень из 19.

 

Приведем идею решения пункта а) с использованием теоремы Менелая (Ирина Николаева, Тюмень).

Из треугольника RBS по теореме Менелая находим, что RA = AB, затем из треугольника RBC получаем, что точка Р  — середина ребра AD, поскольку отрезок AP  — средняя линия. В треугольнике DAS отрезок РM тоже средняя линия. Тем самым прямые РM и SD параллельны, а потому по признаку параллельности прямой и плоскости заключаем, что прямая SD параллельна плоскости CMN/.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а),

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Краснодарский край, Задания 13 ЕГЭ–2022
Спрятать решение · · Курс Д. Д. Гущина ·
Ирина Человечкова 07.07.2022 16:11

В пункте а) сечение на чертеже не достроено. Создается впечатление, что сечением является CMNA, а на самом деле сечением является CMNP, как на чертеже под б).

Служба поддержки

Намеренно не стали достраивать, поскольку можно обойтись без построения сечения.