Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 630156

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с большим основанием AD. Диагонали пересекаются в точке O. Точки M и N  — середины боковых сторон AB и CD соответственно. Плоскость α проходит через точки M и N параллельно прямой SO.

а)  Докажите, что сечение пирамиды SABCD плоскостью α является трапецией.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды SABCD плоскостью α, если AD=7, BC=5, SO=4, а прямая SO перпендикулярна прямой AD.

Спрятать решение

Решение.

a)  Пусть плоскость α пересекает ребра SA и SD в точках L и K соответственно.

Пусть MN пересекает AC и BD в точках E, F. Тогда отрезки EL и OS, FK и OS параллельны соответственно (эти прямые лежат в одной плоскости, но не могут пересекаться, т. к. отрезок OS параллелен плоскости α. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках

AL:LS=AE:EO=DF:FO=DK:KS,

а отсюда следует параллельность прямых KL и AD.

Отрезок MN параллелен отрезку AD, как средняя линия трапеции ABCD, а значит отрезок MN параллелен отрезку KL. Кроме того AE больше EO, значит, AK больше KS, значит, KL меньше дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AD. Отрезок MN как средняя линия трапеции строго больше половины основания AD, поэтому KL меньше MN, значит, сечение не параллелограмм, а трапеция. Что и требовалось доказать .

б)  По свойству средней линии

MN=\dfrac7 плюс 52=6.

Тогда ME= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC=FN, поэтому EF=LK=6 минус 5=1.

По условию отрезок SO перпендикулярен отрезку AD и отрезок AD параллелен средней линии MN, по доказанному в пункте а) отрезки LE и SO параллельны. Значит, отрезок LE перпендикулярен отрезку MN. Следовательно,

LE:SO=AE:AO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AC:AO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка AD плюс BC правая круглая скобка :AD=6:7.

Тогда LE= дробь: числитель: 24, знаменатель: 7 конец дроби . По формуле площади трапеции

S_KLMN= дробь: числитель: левая круглая скобка 6 плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 24, знаменатель: 7 конец дроби =12.

Ответ: 12.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 630120: 630156 Все

Источник: ЕГЭ по математике 02.06.2022. Основная волна. Санкт-Петербург. Вариант 321, Задания 13 ЕГЭ–2022