Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 19 № 526701

Квадратное уравнение x в степени 2 плюс px плюс q=0 имеет два различных натуральных корня.

а) Пусть q = 55. Найдите все возможные значения p.

б) Пусть p плюс q=30. Найдите все возможные значения q.

в) Пусть q в степени 2 минус p в степени 2 = 2108. Найдите все возможные корни исходного уравнения.

Решение.

а) Обозначим корни данного уравнения за x_1, x_2. По теореме Виета x_1 умножить на x_2=55. Разложить число 55 на два натуральных множителя можно только двумя способами: 55=1 умножить на 55=5 умножить на 11. Получаем, что x_1 плюс x_2=56 или x_1 плюс x_2=16. Отсюда по теореме Виета получаем, что p= минус 56 или p= минус 16.

б) Получаем уравнение  минус (x_1 плюс x_2) плюс x_1x_2=30. Отсюда 1 минус x_1 минус x_2 плюс x_1x_2=31 равносильно (x_1 минус 1)(x_2 минус 1)=31. (x_1 минус 1) и (x_2 минус 1) — целые неотрицательные числа, поэтому x_1 минус 1=1, x_2 минус 1=31 (или наоборот). В любом случае q=x_1x_2=64.

в) q в степени 2 минус p в степени 2 =(q минус p)(q плюс p)=(x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2)(x_1x_2 минус x_1 минус x_2)=2108=4 умножить на 527=4 умножить на 17 умножить на 31. Числа q минус p и q плюс p отличаются друг от друга на чётное число, поэтому они одной чётности, поэтому каждое из них делится на 2 и не делится на 4. Кроме того q минус p больше q плюс p, поэтому остаются такие варианты:

1)x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2=1054, x_1x_2 минус x_1 минус x_2=2;

2)x_1x_2 плюс x_1 плюс x_2=62, x_1x_2 минус x_1 минус x_2=34.

Рассмотрим первый случай: (x_1 плюс 1)(x_2 плюс 1)=1055,(x_1 минус 1)(x_2 минус 1)=3. Натуральными решениями второго уравнения являются пары чисел (4; 2) или (2; 4), которые не являются решениями первого уравнения. Поэтому этот случай не приводит к решениям.

Рассмотрим второй случай: (x_1 плюс 1)(x_2 плюс 1)=63,(x_1 минус 1)(x_2 минус 1)=35. Всевозможные натуральные решения второго уравнения это (36; 2), (8; 6), (6; 8), (2; 36). Первому уравнению удовлетворяют только пары (8; 6) и (6; 8).

 

Ответ: а) −56, −16; б) 64; в) 6 и 8.


Аналоги к заданию № 526680: 526701 562497 Все

Источник: Резервная волна ЕГЭ по математике 24.06.2019., Задания 19 (С7) ЕГЭ 2019
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства