В ящике лежат 65 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 982 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1024 г.
а) Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?
б) Могло ли в ящике оказаться ровно 13 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?
в) Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?
а) Пусть в ящике k овощей массой меньше 1000 г, k овощей массой больше 1000 г и 
овощей массой ровно 1000 г. Тогда
получаем противоречие с условием, что в ящике есть хотя бы два овоща различной массы. Значит, в ящике не могло оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г.
б) Пусть в ящике k овощей массой меньше 1000 г, m овощей массой ровно 1000 г и n овощей массой больше 1000 г. Тогда
Поскольку числа 3 и 4 взаимно просты, 
Таким образом, 
Следовательно, количество овощей с массой, отличной от 1000 г, делится на 7.
Если 
то 
но 52 не кратно 7, значит, не могло оказаться ровно 13 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г.
в) Пусть масса самого лёгкого овоща равна x г, тогда
В пункте б было показано, что 
Кроме того, 
откуда 
значит,
Покажем, что масса самого лёгкого овоща может быть 387 г. Если в ящике 1 овощ массой 387 г, 35 овощей массой 999 г, 2 овоща массой 1000 г и 27 овощей массой 1024 г, то условия задачи выполнены.
Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 387 г.