а)  Сумма на­ту­раль­ных чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равна 7. Сле­до­ва­тель­но, чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, не более 7. Тогда в день n () за­пи­сан­ных чисел не более 1. И это число за­ве­до­мо боль­ше 7 (т. к. сумма чисел с каж­дым днем уве­ли­чи­ва­ет­ся). Про­ти­во­ре­чие с усло­ви­ем (все за­пи­сан­ные числа долж­ны быть мень­ше 6).

б)  Пусть в пер­вый день на доску за­пи­са­ли число 1 и шесть чисел 2, во вто­рой день  — шесть чисел 3, а в тре­тий день  — пять чисел 4. Тогда сумма чисел в пер­вый день равна 13, во вто­рой  — 18, а в тре­тий  — 20. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское чисел, за­пи­сан­ных в пер­вый день, равно а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех за­пи­сан­ных чисел равно

в)  За­ме­тим, что в ше­стой день на доску было за­пи­са­но хотя бы одно число. Пред­по­ло­жим, что в ше­стой день на доску было за­пи­са­но не боль­ше двух чисел. Зна­чит, в пер­вый день на доску было за­пи­са­но не менее 6 чисел, и их сумма была не мень­ше 6. Но это не­воз­мож­но, по­сколь­ку в ше­стой день сумма за­пи­сан­ных на доску чисел долж­на быть не мень­ше 11, а сумма двух чисел, каж­дое из ко­то­рых мень­ше 6, не может быть боль­ше 10.

Таким об­ра­зом, в ше­стой день на доску было за­пи­са­но хотя бы три числа. Сле­до­ва­тель­но, в пятый день было за­пи­са­но не менее четырёх чисел, в четвёртый день  — не менее пяти, в тре­тий  — не менее шести, во вто­рой  — не менее семи, а в пер­вый  — не менее вось­ми. Зна­чит, сум­мар­но чисел было не мень­ше 33.

По­ка­жем, что могло быть за­пи­са­но 33 числа, удо­вле­тво­ря­ю­щих усло­вию за­да­чи. Пусть в пер­вый день были за­пи­са­ны числа 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1; во вто­рой  — 1, 1, 1, 1, 1, 1, 3; в тре­тий  — 1, 1, 1, 1, 3, 3; в четвёртый  — 1, 1, 3, 3, 3; в пятый  — 1, 1, 5, 5; в ше­стой  — 4, 4, 5. Тогда суммы за­пи­сан­ных за эти дни чисел со­от­вет­ствен­но равны 8, 9, 10, 11, 12 и 13, то есть числа удо­вле­тво­ря­ют усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а) нет; б) да; в) 33.