PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 плоскость α проходит через вершины B1 и D, пересекает стороны AA1 и CC1 в точках M и K соответственно, а сечение призмы плоскостью α является ромбом.
а) Докажите, что точка M — середина ребра AA1.
б) Найдите высоту призмы, если площадь основания равна 3, а площадь сечения равна 6.
Решение. а) По условию MB1KD — ромб. Рассмотрим треугольники AMD и A1MB1. Заметим, что
поскольку призма правильная, и 
поскольку MB1KD — ромб. Таким образом, прямоугольные треугольники AMD и A1MB1 равны по катету и гипотенузе, следовательно, 
б) Аналогично пункту а) получаем, что 
Следовательно, отрезок MK параллелен диагонали основания AC, а его длина равна
поскольку 
Сечение призмы — ромб, его площадь равна половине произведения диагоналей:
откуда 
Обозначим высоту призмы h. Тогда 
откуда 
Из полученного уравнения находим, что 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 плоскость проходит через вершины B1 и D и пересекает ребра AA1 и CC1 в точках M и K соответственно. Известно, что M — середина AA1.
а) Докажите, что MB1KD — ромб.
б) Найдите площадь ромба MB1KD, если объем призмы ABCDA1B1C1D1 равен 9, а площадь ее основания ABCD равна 3.
Решение. а) По условию точка M — середина ребра AA1. Рассмотрим треугольники AMD и A1MB1. Заметим, что
поскольку призма правильная, и 
так как точка M — середина ребра AA1. Таким образом, прямоугольные треугольники AMD и A1MB1 равны по катету и гипотенузе, следовательно, 
Заметим, что прямые MB1 и MD параллельны прямым DK и KB1 соответственно, так как лежат в параллельных гранях призмы, а также в одной плоскости 
Поэтому четырехугольник MB1KD — параллелограмм. Его смежные стороны равны, а значит, четырехугольник MB1KD — ромб.
б) Площадь основания равна 3, а призма правильная, поэтому стороны основания 
Высота призмы равна 3, поэтому найдем диагональ ромба B1D:
Тогда площадь ромба MB1KD есть:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что 
и 
Через точки B1 и D параллельно прямой AC проведена плоскость, пересекающая ребро CC1 в точке K.
а) Докажите, что K — середина CC1.
б) Найдите расстояние от точки B до плоскости сечения.
Решение. а) Пусть плоскость сечения пересекает AA1 в точке M. Тогда прямые MK и AC лежат в одной плоскости. Если прямые
Треугольники B1C1K и AMD равны по катету и гипотенузе, поэтому 
Значит, K — середина CC1.
б) Пусть N — середина BB1, а L — середина DD1. Тогда MN параллельна AB и KL параллельна CD. По теореме Пифагора
Найдем объем пирамиды BMKD:
Найдем площадь равнобедренного треугольника KMD:
Тогда 
где h — искомое расстояние. Находим:
Ответ: б) 
Приведем решение методом координат (Александр Турбанов, Липецк).
а) Введем систему координат с началом в точке B, оси направим вдоль ребер параллелепипеда так, как показано на рисунке. В этой системе координат:
Пусть точка T — середина СС1, тогда 
Пусть α — плоскость, проходящая через точки B1 и D параллельно стороне AC. Уравнение плоскости имеет вид 
где 
— 
то есть 
Запишем систему:
откуда находим, что: 
и 
Тогда 
а потому уравнение плоскости α принимает вид
Подставим координаты точки T в найденное уравнение, находим:
Равенство верно, поэтому точка T принадлежит плоскости α и совпадает с точкой K, а значит, плоскость α пересекает сторону CC1 в середине.
б) По формуле расстояния от точки до плоскости находим:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 3. На ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 2. Через точки K и С1 проведена плоскость 
параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что плоскость 
проходит через середину ребра A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1С.
Решение. а) В плоскости BB1D1D через точку К проведем прямую параллельно BD1. Пусть эта прямая пересекает диагональ B1D1 в точке L. В плоскости основания A1B1C1D1 проведем прямую C1L пусть она пересекает сторону A1B1. Треугольник KPC1 — сечение, проходящее через точки К и С1 параллельно прямой BD1. Действительно, прямая BD1 параллельна плоскости сечения, так как параллельна лежащей в нем прямой KL.
В плоскости основания A1B1C1D1 через точку A1 проведем прямую параллельно C1P. Пусть она пересекает D1В1 в точке М. По теореме Фалеса имеем:
и 
поэтому 
Тогда
то есть точка P — середина A1B1. Что и требовалось доказать.
б) Пусть теперь точка N — основание высоты B1N прямоугольного треугольника KB1C 1 , B1N является проекцией наклонной PN на плоскость BB1C1C. Тогда угол PNB1 — линейный угол искомого двугранного угла. Имеем:
Находим:
Тем самым, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 плоскость α проходит через вершины B1 и D, пересекает стороны AA1 и CC1 в точках M и K соответственно. Известно, что четырёхугольник MB1KD — ромб.
а) Докажите, что точка M — середина ребра AA1.
б) Найдите высоту призмы ABCDA1B1C1D1, если площадь её основания ABCD равна 4, а площадь ромба MB1KD равна 
Решение. а) По условию MB1KD — ромб. Рассмотрим треугольники AMD и A1MB1. Заметим, что
поскольку призма правильная, и так как MB1KD — ромб. Таким образом, прямоугольные треугольники AMD и A1MB1 равны по катету и гипотенузе, следовательно,
б) Аналогично пункту а) получаем, что Следовательно, отрезок MK параллелен диагонали основания AC, а его длина равна
так как 
Сечение призмы — ромб, его площадь равна половине произведения диагоналей:
откуда 
Обозначим высоту призмы h. Тогда откуда 
Из полученного уравнения находим, что 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 на серединах рёбер A1C1 и BC отмечены точки M и N соответственно.
а) Докажите, что плоскость AB1M делит отрезок A1N в отношении 2 : 3, считая от вершины A1.
б) Найдите объем пирамиды AMNB1, если сторона основания призмы равна 6, а боковое ребро равно 4.
Решение. а) Пусть плоскость AB1M и прямая A1N пересекаются в точке K. Рассмотрим сечение призмы плоскостью AA1N: точка N1 — середина стороны B1C1, поэтому отрезок NN1 параллелен ребру AA1, точка N1 лежит в плоскости AA1N.
Обозначим P точку пересечения медиан AN1 и B1M. По свойству медиан 
Тогда треугольники A1PK и NAK подобны с коэффициентом 
Следовательно, 
б) Удвоим отрезок В1N, продлив его за точку N до пересечения с прямой СС1 в точке С2. Ясно, что C1С2 = 2C1C. Пирамиды NAMB1 и С2AMB1 имеют общее основание AMB1, а их высоты, проведенные к этому основанию из точек N и С2 соответственно, относятся как 1 : 2. Следовательно,
где h — высота, проведенная к плоскости С2AM из точки B1.
Ясно, что эта высота — отрезок B1M, поскольку прямая B1M перпендикулярна пересекающимся прямым A1C1 и AC, лежащим в плоскости С2AM, а значит, перпендикулярна и самой этой плоскости. Таким образом, 
Чтобы найти площадь треугольника С2AM, вычтем из площади прямоугольника 
площади треугольников 
и 
получим:
Следовательно, 
Ответ: б) 
Приведем другое решение пункта б).
б) Заметим, что:
Из формулы объема 
где h — высота треугольника B1MC1, проведенная из точки M, выразим высоту: 
Найдем площадь четырехугольника B1NCC1:
откуда 
Следовательно,
Таким образом, объем пирамиды AMNB1 равен
Приведем решение методом координат (Александр Турбанов, Липецк).
а) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке A, направим координатные оси, как показано на рисунке. Пусть 
и 
определим координаты точек:
Плоскость AMB1 проходит через начало координат, поэтому ее уравнение имеет вид 
Подставляя в уравнение координаты точек M и B1, получаем:
Таким образом,
Пусть точка Q делит отрезок A1N в отношении 2 : 3, и определим ее координаты:
то есть 
Проверим, что точка Q принадлежит плоскости AMB1. Подставляя координаты точки в уравнение плоскости, получим верное равенство:
Следовательно, плоскость AMB1 делит отрезок A1N в отношении 2 : 3.
б) Для вычисления объема пирамиды применим формулу
Из условия следует, что 
и 
Уравнение плоскости AMB1 принимает вид 
то есть 
Расстояние от точки 
до плоскости, найдем по формуле:
В прямоугольном треугольнике AA1M по теореме Пифагора находим: 
В треугольнике A1B1M найдем
Прямая B1M перпендикулярна плоскости ACC1, поэтому перпендикулярна и прямой AM. Следовательно, треугольник AB1M прямоугольный. Найдём его площадь:
Таким образом,
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной треугольной пирамиде SABC стороны основания ABC равны 12, а боковые ребра — 25. На ребрах AB, AC и SA отмечены точки F, E и K соответственно. Известно, что AE = AF = 10, AK = 15.
а) Докажите, что объем пирамиды KAEF составляет 
от объема пирамиды SABC.
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью KEF.
Решение. а) Пусть точка M — середина ребра ВС, точка O — центр основания, L — проекция точки K на отрезке AO. Заметим, что треугольники AEF и ABC подобны. При этом коэффициент подобия
следовательно,
Прямоугольные треугольники KLA и SOA тоже подобны, с коэффициентом подобия 
следовательно, 
Тогда
б) Треугольники AKE и AKF равны, поэтому сечением пирамиды будет являться равнобедренный треугольник KEF. Пусть H — точка пересечения EF и отрезок AM — середина EF. Тогда отрезок KH — высота треугольника KEF. Из п. а) следует, что
Откуда
Таким образом, площадь треугольника KEF равна
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC, точка K делит ребро BC в отношении BK : KC = 2 : 1, AB = 6 и 
а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD.
Решение. а) Рассмотрим треугольник ASC. В нём AO = OC, SM = MC, значит, OM — средняя линия и прямая AS параллельна прямой OM. Точка K не лежит в плоскости ASC, значит, плоскости
б) По условию 
также известно, что 
Отсюда следует, что 
и 
Пусть плоскости 
Прямая AS параллельна плоскости OMK, значит, прямая AS не имеет общих точек с прямой EF, при этом прямые 
Найдем боковое ребро:
Следовательно, 
Ответ: б) 6.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Дана правильная пирамида SABC с основанием ABC, точки K и M — середины рёбер AB и SC соответственно. Точки N и L на сторонах BC и SA соответственно расположены таким образом, что LA = 4SL и прямые
а) Докажите, что прямые LK, MN и BS пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение 
Решение. а) Прямые NL и MK пересекаются, поэтому они лежат в одной плоскости и, следовательно, точки K, L, M, N также лежат в одной плоскости и образуют сечение пирамиды KLMN. Прямая LK является прямой пересечения плоскостей KLM и SAB и не параллельна прямой BS. Пусть прямые LK и BS пересекаются в точке F. Точка F является точкой пересечения плоскости KLM с прямой BS. Заметим, что, таким образом, плоскость KLM не параллельна прямой BS. Прямая MN является прямой пересечения плоскостей KLM и SBC. MN лежит в KLM, поэтому пересекается с BS в общей точке прямой BS и плоскости KLM, то есть в точке F, следовательно, это общая точка трех прямых LK, MN и BS.
б) Рассмотрим треугольник SAB и прямую KF, по теореме Менелая:
Рассмотрим треугольник SBC и прямую NF, по теореме Менелая:
Ответ: б) 1 : 4.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M и K — середины ребер AB и SC соответственно. На продолжении ребра SB за точку S отмечена точка R. Прямые RM и RK пересекают ребра AS и BC в точках N и L соответственно, причем 2BL = 3LC.
а) Докажите, что прямые MK и NL пересекаются.
б) Найдите отношение 
Решение. а) Рассмотрим плоскость RML. Точка N принадлежит этой плоскости, так как лежит на прямой RM. Точка K лежит на прямой RL, значит, тоже принадлежит плоскости RML. Таким образом, точки M, N, K и L лежат в одной плоскости, и прямые MK и NL не могут быть скрещивающимися. Предположим, что прямая MK параллельна прямой NL. Тогда угол RMK равен углу RNL как соответственные углы при двух параллельных прямых и секущей, и треугольники RMK и RNL подобны по двум углам, поэтому имеем:
По построению 
и 
то есть в левой части равенства дробь больше 1, а в правой — меньше 1. Получили противоречие, следовательно, прямые MK и NL не являются параллельными. Потому прямые MK и NL пересекаются.
б) Рассмотрим треугольник SBC и прямую RL, по теореме Менелая:
Рассмотрим треугольник SAB и прямую RM, по теореме Менелая:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 10. Точка O — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SA и проходящая через точку O, пересекает рёбра 
а) Докажите, что точка M — середина ребра SC.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMN пересекает грань SBC.
Решение. а) Прямая AS параллельна плоскости OMN, значит, прямые AS и MO не имеют общих точек. При этом прямые AS и MO лежат в плоскости ASC, следовательно, они параллельны. В треугольнике ASC точка O — середина стороны AC, тогда отрезок MO является средней линией треугольника ASC по признаку, значит, точка M — середина ребра SC..
б) Пусть плоскость OMN пересекает ребро BC в точке K, а ребро AD — в точке E. Найдем длину отрезка MK. Прямые AS и EN не имеют общих точек и лежат в одной плоскости, значит, они параллельны. На сторонах угла SDA параллельные прямые AS и EN отсекают пропорциональные отрезки, значит,
Учитывая, что 
получаем, что 
и 
Треугольник SBC равносторонний, поскольку все ребра пирамиды равны 10. Следовательно, 
поскольку M — середина ребра SC. Находим отрезок MK по теореме косинусов:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины ребер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна ребрам AB и CD.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что BK = 1 и KC = 5.
Решение. а) Прямая DM перпендикулярна прямой AB, так как треугольник ABD равносторонний, а точка M — середина стороны AB. Аналогично прямая CM перпендикулярна AB. Следовательно, прямая AB перпендикулярна плоскости CMD, поскольку она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости. Тогда она перпендикулярна и прямой MN, лежащей в этой плоскости. Полностью аналогично можно показать, что прямая CD перпендикулярна плоскости ABN, в которой содержится прямая MN. Это и требовалось доказать.
б) Проведем через точку K прямую, параллельную прямой CD. Пусть она пересечет прямую BD в точке T. Через точку T проведем прямую, параллельную AB, пусть она пересечет AD в точке R. Аналогично определяется точка S.
Докажем, что сечение SRTK — искомое. Прямая TK параллельна прямой CD по построению. Прямая MN перпендикулярна прямой CD, поэтому она перпендикулярна и прямой TK. Аналогично прямая MN перпендикулярна прямой SK. Следовательно, прямая MN перпендикулярна плоскости SRT, поскольку перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости.
Четырехугольник SRTK — параллелограмм по построению. Прямая AB перпендикулярна прямой CD, поскольку ее проекция является биссектрисой в равностороннем треугольнике: углы BAC и BAD равны, а значит, проекция перпендикулярна прямой CD. Прямые TK и SK параллельны прямым CD и AB по построению, поэтому 
и 
Таким образом, площадь SRTK равна 
Ответ: б) 5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M и K — середины ребер AB и SC соответственно, а точки N и L отмечены на ребрах SA и BC соответственно так, что отрезки MK и NL пересекаются, а 
а) Докажите, что прямые MN, KL и SB пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение 
Решение. а) Так как прямые NL и MK пересекаются, то они лежат в одной плоскости и, следовательно, точки K, L, M, N также лежат в одной плоскости и образуют сечение пирамиды KLMN. Прямая LK является прямой пересечения плоскостей KLM и SBC и не параллельна прямой BS. Пусть прямые LK и BS пересекаются в точке F. Точка F является точкой пересечения плоскости KLM с прямой BS. Заметим, что, таким образом, плоскость KLM не параллельна прямой BS. Прямая MN является прямой пересечения плоскостей KLM и SAB. Так как MN лежит в KLM, то пересекается с BS в общей точке прямой BS и плоскости KLM, то есть в точке F, следовательно, это общая точка трех прямых LK, MN и BS.
б) Рассмотрим треугольник SAB и прямую MF, по теореме Менелая:
Рассмотрим треугольник SBC и прямую LF, по теореме Менелая:
Ответ: б) 3 : 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Дана правильная пирамида SABC, точки M и K — середины рёбер AB и SC соответственно. Точки N и L на сторонах SA и BC соответственно расположены таким образом, что AN = 3NS и прямые NL и MK пересекаются.
а) Докажите, что прямые LK, MN и BS пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение 
Решение. а) Так как прямые ML и MK пересекаются, то они лежат в одной плоскости и, следовательно, точки K, L, M, N также лежат в одной плоскости и образуют сечение пирамиды KLMN. Прямая LK является прямой пересечения плоскостей KLM и SBC и не параллельна прямой BS. Пусть прямые LK и BS пересекаются в точке F. Точка F является точкой пересечения плоскости KLM с прямой BS. Заметим, что, таким образом, плоскость KLM не параллельна прямой BS. Прямая MN является прямой пересечения плоскостей KLM и SAB. Так как MN лежит в KLM, то пересекается с BS в общей точке прямой BS и плоскости KLM, то есть в точке F, следовательно, это общая точка трех прямых LK, MN и BS.
б) Рассмотрим треугольник SAB и прямую MF, по теореме Менелая:
откуда
Рассмотрим треугольник SBC и прямую LF, по теореме Менелая:
откуда
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины ребер AB и CD соответственно. Плоскость α перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью α, если известно, что 
и 
Решение. а) Прямая DM перпендикулярна прямой AB, так как треугольник ABD равносторонний, и M — середина стороны AB. Аналогично CM перпендикулярна AB. Следовательно, AB перпендикулярна плоскости CMD (перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости), в том числе, и прямой MN, лежащей в этой плоскости. Полностью аналогично можно показать, что CD перпендикулярна плоскости ABN, в которой содержится прямая MN. Что и требовалось доказать.
б) Проведем через точку K прямую, параллельную прямой CD, пусть она пересечет BD в точке T. Через точку T проведем прямую, параллельную AB, пусть она пересечет AD в точке R Аналогично определяется точка S.
Докажем, что сечение SRTK искомое. TK параллельна CD, по построению. Так как MN перпендикулярна CD, то MN перпендикулярна и TK. Аналогично MN перпендикулярна SK. Следовательно, MN перпендикулярна плоскости SRT (перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости).
Четырехугольник SRTK — параллелограмм по построению. Прямая AB перпендикулярна стороне CD, так как ее проекция является биссектрисой (углы BAC и BAD равны) в равностороннем треугольнике, то есть проекция перпендикулярна CD. Прямые TK и SK параллельны прямым CD и AB по построению, поэтому угол RTK прямой. Следовательно, четырехугольник SRTK — прямоугольник. Все ребра тетраэдра равны, по условию отрезки BK и CK равны 1 и 3 соответственно, откуда следует, что все ребра равны 4. Итого 
и 
Площадь SRTK равна:
Ответ: б) 3.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 4. Точка O — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SA и проходящая через точку O, пересекает рёбра SC и SD в точках M и N соответственно. Точка N делит ребро SD в отношении 
а) Докажите, что точка M — середина ребра SC.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMN пересекает грань SBC.
Решение. а) Прямая AS параллельна плоскости OMN, значит, прямые AS и MO не имеют общих точек. При этом прямые AS и MO лежат в плоскости ASC, следовательно, они параллельны. В треугольнике ASC точка O — середина стороны AC, тогда отрезок MO является средней линией треугольника ASC по признаку, значит, точка M — середина ребра SC..
б) Пусть плоскость OMN пересекает ребро BC в точке K, а ребро AD — в точке E. Найдем длину отрезка MK. Прямые AS и EN не имеют общих точек и лежат в одной плоскости, значит, они параллельны. На сторонах угла SDA параллельные прямые AS и EN отсекают пропорциональные отрезки, значит,
Учитывая, что 
получаем, что 
и 
Точка K симметрична точке E относительна центра основания O, а, значит, 
Треугольник SBC равносторонний, поскольку все ребра пирамиды равны 4, следовательно, угол SCB равен 60°. Тогда 
поскольку M — середина ребра SC. Находим отрезок MK по теореме косинусов:
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC, точка K делит ребро BC в отношении 
а 
и 
а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD.
Решение. а) Рассмотрим треугольник ASC. В нём AO = OC, SM = MC, значит, отрезок OM — средняя линия и прямая AS параллельна прямой OM. Точка K не лежит в плоскости ASC, значит, плоскости OMK и ASC пересекаются по прямой MO, следовательно, прямая SA не лежит в плоскости OMK. Тогда прямая AS параллельна плоскости OMK, по признаку параллельности прямой и плоскости, что и требовалось доказать.
б) По условию 
также известно, что 
Отсюда следует, что 
и 
Пусть плоскости OMK и SAD пересекаются по прямой EF, так как плоскость OMK пересекает ребро SD в точке F, а ребро AD — в точке E. Заметим, что точка E симметрична точке K относительно центра основания O, а, значит, 
Прямая AS параллельна плоскости OMK, значит, прямая AS не имеет общих точек с прямой EF, при этом прямые AS и EF лежат в одной плоскости, значит, они параллельны. Из подобия треугольников ASD и EFD получаем, что 
Найдем боковое ребро:
следовательно, 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 5 и BC = 12. Длины боковых рёбер пирамиды 
SB = 9, 
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Решение. а) Заметим, что
и 
поэтому стороны SA и AB, SA и AD попарно перпендикулярны. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости ребро SA перпендикулярно плоскости ABC: SA ⊥ AB и SA ⊥ AD, а потому SA ⊥ (ABC) и, следовательно, SA — высота пирамиды.
б) Через точку O пересечения диагоналей основания ABCD проведем OK — среднюю линию треугольника SAC. Тогда угол между прямыми SC и BD равен углу между прямыми OK и BD, так как OK параллельна SC. По теореме Пифагора найдем BK и SC:
Отрезок OK равен половине ребра SC, так как OK — средняя линия в треугольнике SAC. Отрезок OB равен половине диагонали BD, то есть 
Применим теорему косинусов для треугольника BOK:
откуда
Найденный косинус положительный, поэтому угол BOK острый, а значит, он является искомым. Тем самым угол между прямыми SC и BD равен 
Ответ: б) 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) В треугольнике SAB выполняется равенство
следовательно, по теореме, обратной теореме Пифагора, этот треугольник прямоугольный. Значит, прямая SA перпендикулярна прямой AD. Аналогично доказываем, что треугольник SAD — прямоугольный, а потому прямая SA перпендикулярна прямой AD. Тогда прямая SA перпендикулярна двум прямым (AB и AD), лежащим в плоскости ABD, а значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая SA перпендикулярна этой плоскости. Таким образом, отрезок SA — высота пирамиды SABCD.
б) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A (см. рис.). В этой системе координат:
Пусть α — искомый угол между SC и BD, тогда:
откуда 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB = 8 и 
Длины боковых рёбер пирамиды SA = 15, SB = 17, 
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.
Решение. а) Заметим, что
и поэтому стороны SA и AB, SA и AD перпендикулярны, значит, ребро SA перпендикулярно плоскости основания пирамиды.
б) Опустим из A перпендикуляр на SB. Он будет перпендикулярен также BC, поскольку сторона BC перпендикулярна плоскости ASB, так как стороны SA и BC, AB и BC перпендикулярны. Поэтому его длина и есть расстояние от A до плоскости SBC. Вычислим ее
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник со сторонами AB = 24 и BC = 7. Боковые ребра 
и SD = 10.
а) Докажите, что SA — высота пирамиды.
б) Найдите угол между прямыми SC и BD.
Решение. а) В треугольнике SAB имеем:
поэтому треугольник SAB прямоугольный с гипотенузой SB и прямым углом SAB. Аналогично в треугольнике SAD из равенства
получаем, что 
Так как прямая SA перпендикулярна прямым AB и AD, прямая SA перпендикулярна плоскости ABD. Получили, что ребро SA — высота пирамиды SABCD.
б) На прямой AB отметим такую точку E, что BDCE — параллелограмм, тогда 
и 
Угол между прямыми SC и BD равен углу между прямыми SC и СЕ. Найдём угол SCE.
В прямоугольных треугольниках ABD, SAC и SAE:
По теореме косинусов в треугольнике SCE:
следовательно,
Угол SCE — тупой, значит, искомым углом является смежный с ним угол, он равен 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |