В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 3. На ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 2. Через точки K и С1 проведена плоскость 
параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что плоскость 
проходит через середину ребра A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1С.
а) В плоскости BB1D1D через точку К проведем прямую параллельно BD1. Пусть эта прямая пересекает диагональ B1D1 в точке L. В плоскости основания A1B1C1D1 проведем прямую C1L пусть она пересекает сторону A1B1. Треугольник KPC1 — сечение, проходящее через точки К и С1 параллельно прямой BD1. Действительно, прямая BD1 параллельна плоскости сечения, так как параллельна лежащей в нем прямой KL.
В плоскости основания A1B1C1D1 через точку A1 проведем прямую параллельно C1P. Пусть она пересекает D1В1 в точке М. По теореме Фалеса имеем:
и 
поэтому 
Тогда
то есть точка P — середина A1B1. Что и требовалось доказать.
б) Пусть теперь точка N — основание высоты B1N прямоугольного треугольника KB1C 1 , B1N является проекцией наклонной PN на плоскость BB1C1C. Тогда угол PNB1 — линейный угол искомого двугранного угла. Имеем:
Находим:
Тем самым, 
Ответ: б) 