В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD точка O — центр основания пирамиды, точка M — середина ребра SC, точка K делит ребро BC в отношении 
а 
и 
а) Докажите, что плоскость OMK параллельна прямой SA.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMK пересекает грань SAD.
а) Рассмотрим треугольник ASC. В нём AO = OC, SM = MC, значит, отрезок OM — средняя линия и прямая AS параллельна прямой OM. Точка K не лежит в плоскости ASC, значит, плоскости OMK и ASC пересекаются по прямой MO, следовательно, прямая SA не лежит в плоскости OMK. Тогда прямая AS параллельна плоскости OMK, по признаку параллельности прямой и плоскости, что и требовалось доказать.
б) По условию 
также известно, что 
Отсюда следует, что 
и 
Пусть плоскости OMK и SAD пересекаются по прямой EF, так как плоскость OMK пересекает ребро SD в точке F, а ребро AD — в точке E. Заметим, что точка E симметрична точке K относительно центра основания O, а, значит, 
Прямая AS параллельна плоскости OMK, значит, прямая AS не имеет общих точек с прямой EF, при этом прямые AS и EF лежат в одной плоскости, значит, они параллельны. Из подобия треугольников ASD и EFD получаем, что 
Найдем боковое ребро:
следовательно, 
Ответ: