Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD равны 4. Точка O — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой SA и проходящая через точку O, пересекает рёбра SC и SD в точках M и N соответственно. Точка N делит ребро SD в отношении 
а) Докажите, что точка M — середина ребра SC.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость OMN пересекает грань SBC.
а) Прямая AS параллельна плоскости OMN, значит, прямые AS и MO не имеют общих точек. При этом прямые AS и MO лежат в плоскости ASC, следовательно, они параллельны. В треугольнике ASC точка O — середина стороны AC, тогда отрезок MO является средней линией треугольника ASC по признаку, значит, точка M — середина ребра SC..
б) Пусть плоскость OMN пересекает ребро BC в точке K, а ребро AD — в точке E. Найдем длину отрезка MK. Прямые AS и EN не имеют общих точек и лежат в одной плоскости, значит, они параллельны. На сторонах угла SDA параллельные прямые AS и EN отсекают пропорциональные отрезки, значит,
Учитывая, что 
получаем, что 
и 
Точка K симметрична точке E относительна центра основания O, а, значит, 
Треугольник SBC равносторонний, поскольку все ребра пирамиды равны 4, следовательно, угол SCB равен 60°. Тогда 
поскольку M — середина ребра SC. Находим отрезок MK по теореме косинусов:
Ответ: б) 