Длина ребра пра­виль­но­го тет­ра­эд­ра ABCD равна 1. M  — се­ре­ди­на ребра BC, L  — се­ре­ди­на ребра AB.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, па­рал­лель­ная пря­мой CL и со­дер­жа­щая пря­мую DM, делит ребро AB в от­но­ше­нии 3 : 1, счи­тая от вер­ши­ны A.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми DM и CL.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 8. Точка L  — се­ре­ди­на ребра  SC. Тан­генс угла между пря­мы­ми BL и SA равен

а)  Пусть O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. До­ка­жи­те, что пря­мые BO и LO пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды.

Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ равна 8. Вы­со­та этой приз­мы равна 6.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, со­дер­жа­щая пря­мую AB₁ и па­рал­лель­ная пря­мой CA₁ про­хо­дит через се­ре­ди­ну ребра BC.

б)  Найти угол между пря­мы­ми CA₁ и AB₁.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с ги­по­те­ну­зой AB, рав­ной Вы­со­та приз­мы равна 6.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость, со­дер­жа­щая пря­мую AC₁ и па­рал­лель­ная пря­мой CB₁ про­хо­дит через се­ре­ди­ну ребра A₁B₁.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми AC₁ и CB₁.

В пи­ра­ми­де DABC пря­мые, со­дер­жа­щие ребра DC и AB, пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

а)  По­строй­те се­че­ние плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точку E  — се­ре­ди­ну ребра DB, и па­рал­лель­но DC и AB. До­ка­жи­те, что по­лу­чив­ше­е­ся се­че­ние яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те угол между диа­го­на­ля­ми этого пря­мо­уголь­ни­ка, если DC  =  24, AB  =  10.

Точка E  — се­ре­ди­на ребра CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми BE и AD равен углу CBE.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и AD.

На ребре CC₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ от­ме­че­на точка E так, что CE : EC₁  =  1 : 2.

а)  Пусть точка F делит ребро BB₁ в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны B₁. До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми BE и AC₁ равен углу AC₁F.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и AC₁.

Бо­ко­вое ребро пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC равно 6, а ко­си­нус угла ASB при вер­ши­не бо­ко­вой грани равен Точка M  — се­ре­ди­на ребра SC, точка N  — се­ре­ди­на ребра AC.

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми BM и SA либо равен углу BMN, либо до­пол­ня­ет его до 180°.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми BM и SA.

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD про­ве­де­на вы­со­та DH. K  — се­ре­ди­на от­рез­ка CH. BM  — ме­ди­а­на бо­ко­вой грани BCD.

а)  До­ка­жи­те, что угол между DH и BM равен углу BMK.

б)  Най­ди­те угол между DH и BM.

Дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCDEF.

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми SB и CD равен углу SBE.

б)  Если сто­ро­ны ос­но­ва­ния равны 1, а бо­ко­вые ребра равны 2, най­ди­те угол между пря­мы­ми SB и CD.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де PABCD про­ве­де­на вы­со­та PH. N  — се­ре­ди­на от­рез­ка AH, M  — се­ре­ди­на ребра AP.

а)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми PH и BM равен углу BMN.

б)  Длины всех ребер дан­ной пи­ра­ми­ды равны между собой. Най­ди­те угол между пря­мы­ми PH и BM.

Дана пра­виль­ная ше­сти­уголь­ная приз­ма ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все рёбра ко­то­рой равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми AB₁ и BC₁.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 1.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AB₁ па­рал­лель­на пря­мой, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ны от­рез­ков AC и BC₁.

б)  Най­ди­те ко­си­нус угла между пря­мы­ми AB₁ и BC₁.

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре АВСD точка Н  — центр грани АВС, а точка М  — се­ре­ди­на ребра СD.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые АВ и СD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми DН и ВМ.

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы АВСDA₁В₁С₁D₁ лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция АВСD c ос­но­ва­ни­я­ми AD и ВС. Из­вест­но, что AD : BC  =  2 : 1 и АВ  =  ВС.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые DB₁ и A₁B₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми CD₁ и DB₁, если бо­ко­вая грань AA₁D₁D  — квад­рат.

Ос­но­ва­ние пи­ра­ми­ды DABC  — пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник АВС с пря­мым углом при вер­ши­не С. Вы­со­та пи­ра­ми­ды про­хо­дит через точку В. Точки М и N  — се­ре­ди­ны рёбер АD и BC со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что MN яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла ВМС.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми BD и MN, если AC  =  16.

В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCDEF с вер­ши­ной S в грани SBC про­ве­де­на вы­со­та SH, а в грани SEF про­ве­де­на вы­со­та SK.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SHK.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми BE и SH, если SA  =  13, а BC  =  10.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды ABCD лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC. Все бо­ко­вые ребра на­кло­не­ны к ос­но­ва­нию под одним и тем же углом.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AB пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти, про­хо­дя­щей через се­ре­ди­ну ребра AB и ребро DC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и CD, если

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны ребра BC  =  5 и AB  =  AA₁  =  8, M и N  — се­ре­ди­ны ребер CD и АА₁ со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α про­хо­дит через точки M и B и па­рал­лель­на пря­мой CD₁.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая DN па­рал­лель­на плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми C₁D и BD₁.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD бо­ко­вое ребро SA  =  5, а вы­со­та Точки M и N  — се­ре­ди­ны ребер CD и АВ со­от­вет­ствен­но. Точка  N  — вер­ши­на пи­ра­ми­ды  NSCD, NT  — ее вы­со­та.

а)  До­ка­жи­те, что точка T делит SM по­по­лам.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми NT и SC.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ от­ме­че­ны се­ре­ди­ны P и E от­рез­ков AB и AD со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые B₁E и СР пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между этими пря­мы­ми, если

В ос­но­ва­нии четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB  =  5 и Длины бо­ко­вых рёбер пи­ра­ми­ды и

а)  До­ка­жи­те, что SA  — вы­со­та пи­ра­ми­ды SABCD.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми SC и BD.

В ос­но­ва­нии четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD со сто­ро­на­ми AB  =  6 и Длины бо­ко­вых рёбер пи­ра­ми­ды и

а)  До­ка­жи­те, что SA  — вы­со­та пи­ра­ми­ды SABCD.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми SC и BD.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с вер­ши­ной S точка К лежит на ребре SC и делит его в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от вер­ши­ны. Точка M  — се­ре­ди­на AS. Через МK про­ве­де­но се­че­ние, па­рал­лель­ное пря­мой DC.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те угол между пря­мы­ми MK и DC, если

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся в точке  О. Точки М и N  — се­ре­ди­ны ребер АВ и ВС со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α, про­хо­дя­щая через точку О па­рал­лель­но пря­мым B₁M и C₁N, делит ребро BB₁ в от­но­ше­нии 1 : 1.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C₁ до плос­ко­сти α, если AB  =  6, BC  =  4 и AA₁  =  3.

Дана пи­ра­ми­да SABC, в ко­то­рой AB  =  AC  =  SB  =  SC  =  17 и BC  =  SA  =  16. Точки М и N  — се­ре­ди­ны ребер ВС и SA.

а)  До­ка­жи­те, что от­ре­зок MN яв­ля­ет­ся общим пер­пен­ди­ку­ля­ром к пря­мым BC и SA.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды ABMN.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AD  =  12, а вы­со­та равна 3. На реб­рах AB, CD, AS от­ме­че­ны точки E, F и К со­от­вет­ствен­но, при­чем и AK  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти KEF и SBC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки К до плос­ко­сти SBC.