Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
В правильном тетраэдре АВСD точка Н — центр грани АВС, а точка М — середина ребра СD.
а) Докажите, что прямые АВ и СD перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямыми DН и ВМ.
Решение.
Спрятать критерииа) Отрезки АМ и ВМ являются медианами в равносторонних треугольниках АСD и ВСD соответственно, поэтому прямая СD перпендикулярна этим отрезкам, а значит, и плоскости АМВ. Следовательно, прямые АВ и СD перпендикулярны.
б) Пусть К — середина ребра АВ, а N — середина отрезка НС. Тогда MN — средняя линия треугольника СDН, поэтому искомый угол равен углу BMN, а
Обозначим ребро тетраэдра через 6x. Тогда имеем:
Ответ: б) 
Источники:
Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямых, Правильный тетраэдр, Угол между прямыми